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数学是对事物抽象结构与模式严格描述的一种手段

专题–直线恒过定点

1.恒过定点的直线：

如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线，这里面可

以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成.

2.恒过定点：

恒过定点是指在一个函数中，无论该函数的自变量如何变化，该函数的函数

图像必然会经过一个不变的固定点，即把固定点坐标带解析式里等式成立.

3.直线恒过定点：

直线的方程中可能含有变量（参数），但是不管变量（参数）怎么变，这条

直线都过一个定点.

【例】无论参数取何值，直线一直都过一点.

比如说有点(1，如果有一条直线为y−3=k(x−1)，那么无论k取

，3)

何值，当x=1的时候，y，这就是直线恒过点(13.

=3，)

【拓展资料】

1/4对于一次函数，解析式化成y−b=k(x−a)的形式，令x=a，y=b，无论

k取何不为0的实数，等式恒成立.函数图像恒过定点(a，b).

2/4对于二次函数，解析式化成y=a(x+b)2+c的形式，令x=−b，yc，无

论k取何不为0的实数，等式恒成立.函数图像恒过定点(−b，c).

3/4对于指数函数x，令x0，得，无论底数a取何大

y=a(a0，a1)y1

于0且不等于1的实数，等式恒成立.指数函数图像恒过定点(0，1).

4/4对于对数函数ylogx(a=0，a1)，令x=1，得y0，无论底数a取何

a

大于0且不等于1的实数，等式恒成立.对数函数图像恒过定点(1，0).

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数学是对事物抽象结构与模式严格描述的一种手段

【例题与方法】

【方法一】特殊值法：

给直线方程中的参数取两个特殊值，得到关于x、y的二元一次方程组，解

出该二元一次方程组，即可得到该直线所过的定点坐标.

【例题】求证：不论m取任意实数，直线(1)(2都过一定点.

m−x+m−1)y=m−5

【解析】特殊值法的关键是取两个特殊的参数值，然后代入原方程组成一个二元

一次方程组.为了计算简便，可以直接取使x和y系数为0的m的值.

证明：令m=1，则m−1=0，直线方程化为：y=−4；

1

令m，则2m−10，直线方程化为：x9；

2

此时，这两条直线的交点为(9，−4)，

将(9，代入原方程，原方程成立.

−4)

因此，无论m取任意实数，直线(m−1)x+(2m−1)y=m−5都过定点(9，−4).

【方法二】直线的点斜式方程：

直线的点斜式方程为：y−y=k(x−x)，该直线一定过定点(x，y)，也就

0000

是说，只要能将题目给出的方程化为点斜式方程，即可求出该直线所过的定点.

【例题】求证：不论m为何值时，直线l：y