2025届新高考数学重难点06函数与导数学生版.docxVIP

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重难点06函数与导数

从新高考的考查状况来看，函数与导数始终是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数探讨函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为亲密，还可能与三角函数、数列等学问综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数探讨函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类探讨思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.

1、探讨含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类探讨．

(1)探讨分以下四个方面

①二次项系数探讨；②根的有无探讨；③根的大小探讨；④根在不在定义域内探讨．

(2)探讨时要依据上面四种状况，找准参数探讨的分类．

(3)探讨完毕须写综述．

2、探讨函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)推断零点个数的方法:借助导数探讨函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性推断函数图象走势，从而推断零点个数或者通过零点个数求参数范围．

(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．

(3)构造函数法探讨函数零点:①依据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，依据函数零点的个数找寻函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．

3、求与函数零点有关的参数范围的方法：

方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．

（1）参数分别法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类探讨法.

4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象视察，或参变分别，转化为求函数的最值问题来处理．

恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．

存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x)?m≥f(x)min(2)存在m≤f(x)?m≤f(x)max．

5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：

(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可干脆转化为证明f(x)min＞g(x)max；

(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，

然后依据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数探讨函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，擅长从不同角度分析问题，是解题的法宝.

6、函数性质综合问题

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：

（1）函数单调性与奇偶性的综合．留意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．

利用单调性比较大小、解不等式、探讨函数的最值、函数单调性的探讨（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要留意极值点偏移、双变量等热点问题。

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2024·江苏连云港·高三期中）已知某电子产品电池充溢时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（）

A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）

2．（2024·江苏·无锡市教化科学探讨院高三期中）已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（）

A．4 B．2 C．-2 D．-4

3．（2024·江苏常州·高三期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（）

A． B． C． D．

4．（2024·山东临沂·高三期中）设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数