长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题（原卷版）.docx

长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第一次阶段性检测

数学

时量：120分钟，满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知，则（）

A. B. C. D.

3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）

A. B. C. D.

4.函数图象与直线（为常数）的交点最多有（）

A.个 B.个 C.个 D.个

5.已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（）

A. B. C.或 D.或

6.下列命题：①若，则；

②若，，则；

③的充要条件是且；

④若，，则；

⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）

A. B. C. D.

7.如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（）

A. B.2 C. D.4

8.设函数，则的最小正周期（）

A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关

C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数，且，下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.的最小值为8

10.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）得到.

A.先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位

B.先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位

C.先将各点横坐标变为原来倍，再向右平移个单位

D.先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍

11.已知，下列关系可能成立的有（）

A. B.

C. D.

12.下列论断中，正确的有（）

A.中，若为钝角，则

B.若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数

C.若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称

D.向量、、满足，则或

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量满足，则与的夹角为__________.

14.函数的对称中心中，到轴距离的最小值是__________.

15.已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是______.

16.已知点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴，且在区间内单调，则__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数.

（1）求的单调递减区间；

（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围.

18.如图，四边形中，，且.

（1）求实数值；

（2）若是线段上的动点，求的取值范围.

19.对于实数、，定义，设，且关于方程为恰有三个互不相等的实数根、、，若，求的取值范围.

20.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

21.求解下列问题：

（1）求证：；

（2）已知，求.

22.悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.