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【初中竞赛资料】2008年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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【初中竞赛资料】2008年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试

一、选择题1．设,,且,则代数式的值为(B)

5.7.9.11.

提示：是方程两个不同根,故.

2．如图,设,,为三角形的三条高,若,,,则线段的长为(D)

.4...

提示：,可得,故中由勾股定理得

3．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中依次取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是(C)

....

提示：卡片一共有20种取法,其中,满足条件的有种.

4．在△中,,,和分别是这两个角的外角平分线,且点分别在直线和直线上,则(B)

..

.和的大小关系不确定.

提示：都是等腰三角形.

5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为,则的最小值为(B)

....

提示：将价格从高到低排列,相邻价格之间的比值至少是

6．已知实数满足,则

的值为(D)

.2008..1.

提示：,同理

,故.

二、填空题1．设,则_________.-2

提示：

2．如图,正方形的边长为1,为所在直线上的两点,且,,则四边形的面积为___________.

提示：

3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为,,且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为,,则__________.

提示：满足条件.

4．依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是___________.1

提示：平方数为一位数的有3个,平方数为两位数的有6个,依此类推.

第二试(A)

一、已知,对于满足条件的一切实数,不等式

恒成立.当乘积取最小值时,求的值.

解：设,则

==

当时,,当时,,故.

若,则,,不恒大于等于0,故即,同理.

当时,

当,即时,

,故,即.

当,即时,

综上所述,最小值是,此时或.

二、如图,圆与圆相交于两点,为圆的切线,点在圆上,且.

(1)证明：点在圆的圆周上.

(2)设△的面积为,求圆的的半径的最小值.

解：(1)连接,则,又,故等腰

,.由于为圆的切线,

故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍,即半径所在直径通过弧的中点,即点在圆上.

(2)连接,则,故,又,故,即,且当为圆的直径时可以取等号,故的最小值是.

三、设为质数,为正整数,且求,的值.

解：将原等式整理为关于的一元二次方程：

,由于为正整数,则方程判别式是完全平方数,即为完全平方数,设,则

,即,由于,故同为奇数或者同为偶数,且不同是被3整除.

当时,检验得不是完全平方数

当时,检验得不是完全平方数

当时,由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.

当时,不是整数,当时,不是整数,

当或时,不是质数,

当时,是质数,此时只有满足条件,

综上所述,,.

附：一.(B、C卷)已知,对于满足条件的一切实数对,不等式恒成立.当乘积取最小值时,求的值.

三．(C卷)设为质数,为正整数,且满足

,求的值.