立体几何的截面问题8种常见考法归类-【考点通关】 （解析版）.docxVIP

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立体几何截面问题8种常见考法归类

立体几何截面问题在高中数学中十分常见，探究学习的关键是理解截面的概念.用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形称之为截面，需要把握其中的两点：一是截面的常见形状；二是影响截面形状的因素，与几何体、截取方式密切相关.

截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交线)叫做截线，与几何体棱的交集(交点)叫做截点.

理论基础：主要依据立体几何的三个基本事实及线面平行两个性质定理.

模型分析：作正方体截面图形的关键是找出截面与正方体表面的交线，而找交线的关键是确定截面与正方体棱的交点.

平行法模型：平面EFG与平面ABCD有公共点E，且直线FG//平面ABCD，则根据基本事实三和定理1可知两平面的交线l过公共点E且与直线FG平行，如图1所示.

相交法模型：平面EFG与平面ABCD有公共点E，但是两个平面内均不易找出现成的直线与另一个平面平行，此时，可以延长FG与平面ABCD交于点H，连接EH，由基本事实三知其为两平面的交线，如图2所示.

图1图2

(3)平行四边形法模型：在A1A的延长线上任取点E，在BB1、DD1上任取点F、H，连接EF交AB于点G，连接EH交AD于点I，以EF、EH为邻边构造平行四边形，可以得出截面与正方体其它棱的交点，如这里的点

此方法比较适用于截面图形是五边形、六边形这种复杂一点的截面图形.因为五边形截面、六边形截面中，两不相邻边的延长线的交点一定在正方体棱的延长线上.

图3

（一）正方体截面的作图方法

为了更好地诠释过正方体棱、面、体上不共线三点的截面图形作法，下面展示以下几种常规作图题型.

1、截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上

(1)已知的三点E、F、G中任意两点的连线都在正方体的表面上，直接两两连接即得截面图形，如图4所示.

图4

(2)已知的三点E、F、G中任意两点的连线恰有两条在正方体的表面上，由平行法或相交法可得截面图形(如图5所示).

图5

平行法思路：连接GF，在平面ABB1A1内过点E作EH//GF，并交AA1

相交法思路：连接FE并延长交DA的延长线于点H，连接GH交AA1于点I，则四边形

(3)已知的三点E、F、G中任意两点的连线恰有一条在正方体的表面上，由相交法(作图思路略)或平行四边形法可得截面图形(如图6所示).平行四边形法思路：连接FG并延长，交DD1的延长线于点P，连接PE交A1D1于点H，则点H为截面上一点，以PE、PF为邻边做平行四边形PEQF，则QF与BC的交点I

图6

(4)已知的三点E、F、G中任意两点的连线都不在正方体的表面上，可以通过做辅助平面的方法转到相交法来处理(如图7).

图7

在平面A1B1C1D1内过点G作GH//A1B1，交B1C1于点H，连接HB并延长交GE的延长线于点I，连接IF交BC于点J，连接EJ并延长交DC的延长线于点L交DA的延长线于点K，连接KG交

有了前面的平行法、相交法、平行四边形法3种作截面图形的模型介绍，对经过正方体棱上不共线三点的截面图形作法，学生不难领悟.

2、截面经过的三个已知点中至少有一点在正方体的面上，其余点在正方体的棱上

在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为其上底面一点，点F、G分别为棱AA

作法提示：作EE1//AA1并交平面ABCD于点E1，连接EF、E1A并使其延长线交于点S；连接SG交AB于点L，易知点L为截面上一点；连接LF并延长交B1A1的延长线于点P，连接PE并延长，交A1D1于点M、交C1D1于点N，则点M、N

图8

当点不在棱上，而在面内时，可以借助构造新的平面，将点转到棱上来，继而用平行法、相交法、平行四边形法作截面图形.

3、截面经过的三个已知点中至少有一点在正方体的体内，其余点在正方体的棱上

在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为其体内一点，点F、G分别为棱AA

作法提示：过点E作平面ABCD的垂线，垂足为H，连接HA并延长，交EF的延长线于点I，连接IG交AB于点J，连接JF并延长交B1A1的延长线于点K，过点K作JG的平行线，交A1D1于点L，交D1C1于点M，过点M作FJ的平行线

当有点在体内时，可以类似题型二，借助做辅助面将体内的点转到面上，继而转到棱上.

图9

（二）立体几何动截面最值问题的一般解题步骤

1、立体几何动截面最值问题的一般解题步骤(即四关)：寻找（动截面大致位置）——判断（动截面形状特征）——猜想（最值截面所在位置）——求（动截面面积表达式和最值).

2、在猜想求解选择题中的截面最值问题时，要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥