点阵振动课件.pptVIP

若只考慮最近鄰近似，第ｓ個晶胞中品質為M1的原子所受的力為：

其运动方程为

同理可写出第s個晶胞中品質為M2的原子的運動方程為：

u，v可以是複數，第ｓ個晶胞中品質為的原子的ω與k相同，但振幅不同，由於u，v是複數，故u，v可以有一個相因數之差，表示它們之間的相位關係。

我們將代回運動方程得：

這是以u，v為未知數的方程組，要有非零解須係數行列式為零。

便可得到：

展開此行列式可得：

即

上式中取“＋”號時，有較高頻率稱為光學支色散關係，取“－”號時，有較低頻率稱為聲學支色散關係。

把色散關係作圖得：

2.光學支和聲學支格波

為了討論比較典型,我們處理長波極限下的情況。當ka《1（即波長比點陣常數大得多的光學支與聲學支）

coska≈，帶入色散關係中：

取“＋”号时，≈

取“－”號時：≈

由u.v的方程組,我們知道:

當ka1時:

對“＋”號的一支:

[這是k∽0時,將帶入u，v方程組中得到的]

它表明同一個初基晶胞中的兩個原子每時每刻的振動位相是相反的，而且是質心不動的，不同的初基晶胞有一個位相差。在離子晶體中由於它們不斷的反位相振動，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動模式可用光波來激發，故稱之為光學支振動模式，實際上它是簡正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

對“－”號支：

這表明ka《1時，同一初基晶胞中兩個原子每時每刻是同位相運動（振動之比為1），而且連同質心一起作整體運動。不同初基晶胞之間的振動有一個相因數，初基晶胞的整體運動存在著類似聲波的色散關係ω=vk，有類似聲波的性質，故稱之為聲學支模式。它不是聲波。

兩支模式的區別在於，光學支模式是描寫初基晶胞中兩個原子相對運動的振動模式，若這兩個原子組成一個分子，光學支模式實際上是分子振動模式，描寫的是同一個分子中的原子的相對運動情況，聲學支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運動，若初基晶胞中的兩個原子組成一個分子的話，聲學支模式則代表分子的整體運動模式，這種振動模式的色散關係類似於聲波。但它不是聲波。

當k=±

設

對聲學支

對光學支

3．簡正模式計數

在前面的討論中無論是單原子點陣還是雙原子點陣我們只討論一維情況，還沒有涉及到簡正模式的偏振狀態，在三維空間，對一個波矢對應有3個偏振態，兩個橫振動，一個縱振動，對於3個不同的偏振態來說原子的力常數是不同的。縱波的原子的運動與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運動與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數是不相同的，色散關係也是不一樣的。

對於單原子晶體，簡正模式的色散關係有三支，每支色散關係對應有Ｎ個簡正模式，則共有3N個模式，對於雙原子點陣，點陣模式的色散關係有6支，3支聲學支，3支光學支。每支色散關係各有N個簡正模式，故有3N個聲學摸，在長波極限下它對應於初基晶胞的整體，這種整體運動的自由度共有3N個，這3N個自由度對應3N個聲學模式。光學支也有3 N個簡正模式，對應與初基晶胞中原子的相對運動，有3N個自由度。因此總的簡正模式（包括光學支，聲學支）共有3×2×N=6N個，也就是說雙原子點陣共有6N個簡正模式，這6N個簡正模式對應於晶體中所有原子的總自由度。推而廣之，對於每個初基晶胞中有P個原子的點陣，簡正模式的色散關係有3P支，其中有3支是聲學支,對應於聲學摸的三種偏振狀態,剩下的3P-3都是光學支,每一支的K的取值都有N個,因此共有3PN個簡正模式。其中3N個聲學模式，剩下的3NP-3N個都是光學模式，無論基晶胞中有多少個原子，色散關係的聲學支只能有3支，因為聲學支對應於初基晶胞中原子的整體運動而這種運動只能有三個，剩下的3P-3支都是光學支，代表了初基晶胞中原子的相對振動。需要說明的是，在色散關係中，對三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向後才能畫出對應的色散關係，即ω-K的關係圖。對應於晶體中對稱性比較高的方向，簡正模式可以是簡並的。但這並不是說它們的簡正模式數減少了，因為此時儘管兩支橫光學支或橫聲學支簡並，在同一個K下它們的頻率相同，但時它們處於不同的偏振態，各自仍然是獨立的。

§3.聲子

1．聲子

點陣振動可用簡正模式來描述，每一個簡正模式描寫一個一定頻率一定波矢和偏振狀態的平面波