十五章-实数和二次根式.docVIP

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实数和二次根式

一:平方根.算数平方根和立方根

1.平方根:

定义:如果,则书写:正数a的平方根记做“”.

性质:一个数有两个平方根,他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.

2.算术平方根

定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”.

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零.

3.立方根

定义:如果,则，数a的立方根记做“

性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.

注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.

二:实数的概念及分类（3分）

1.实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2.无理数:在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数(含根号型),如等；

（2）有特定意义的数(含有π的),如圆周率π,+8等；

（3）有特定结构的数(有规律不循环型),如0.1010010001…等；

3．______和数轴上的点一一对应

三练习:1.64的立方根是______2.9的平方根是______3.＝_____4.＝____,5.=_____6.-8的立方根是______,7.16的平方根是_____8.36的平方根是

9.在实数中是无理数的有______.

10.数3.14,EQ\r(,2),π,0.323232…,EQ\f(1,7),EQ\r(,9)中,无理数的个数为（）

11.若,求3x＋y的值

12.（09贺州）的整数部分是_____,小数部分是______.

13.(1）已知是整数,则满足条件的最小正整数为（）（A）2（B）3 （C）4（D）5

(2)（09绵阳）已知是正整数,则实数n的最大值为（）

二次根式典例解析

知识讲解

一:相关概念

1．二次根式式子（a≥0）叫做二次根式.

2．最简二次根式:符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式,（2）被开方式中不含有分母,符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简.

（2）如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来.

3．同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式．

4．二次根式的性质

①；②=│a│=：例如：

③=·（a≥0,b≥0）；④（b≥0,a0）．

5．分母有理化及有理化因式（1）互为有理化因式:两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式,则这两个代数式叫做互为有理化因式,常见的有理化因式有:与±,a+与a－,+与－,m+n与m－n；（2）分母有理化:把分母中的根号化去过程,叫做分母有理化,方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

二:二次根式的运算

法则:二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的（或先去括号）

方法:1,二次根式的运算:（1）加减运算:化成同类二次根式后,再合并同类二次根式；（2）乘除运算:按·＝,＝运算,再化成最简二次根式.

2,充分利用a＝（a≥0）；a－b＝(+)(-)（a≥0,b≥0）.

三巩固练习:

1.若y=++2009,则x+y=2.计算的结果是3.的平方根是

4.(1)(09怀化)若则．

(2).若成立.则x的取值范围为:（）．

5.已知二次根式与是同类二次根式,则的α值可以是

6.若a与是同类根式,则a可能是（）A.－3 B. C.－ D.

8.在下列各组根式中,是同类二次根式的是（）

A．和?B．和C．

9.下列根式中属最简二次根式的是（）A.B.C.D.

10.下列根式中不是最简二次根式的是（）．A．B．C．D．

11.(2008山东聊城)下列计算正确的是（）

A． B．C．D．

12.(08济宁)如图,数轴上两点表示的数分别为1和,点关于点的对称点为点,则点所表示的数是（）

A．