竞赛中含绝对值的问题.docx

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b?a?a?c?c?b.（2005年上海市七年级数学

竞赛预赛卷）

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用，掌握好方法，顺利解决这些问题．

一、直接推理法

例1：已知a??b,a?0，a?b?a?b?ab则等于（ ）（第八届“希望

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杯”初一试题）

（A）2a?2b?ab.（B）?ab.（C）?2a?2b?ab.（D）?2a?ab.

解：因为a?0，所以a,b同号.又因为a??b，即a?b?0，所以a,b必须同

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为负.

所以a?b?a?b?ab??a???b???a?b??ab??2a?ab.

答案为D.

说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.

二、巧用数轴法

例2:设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1 所示，化简

解: 由图可知，a?0,b?0,c?0，且c?a?b?0.

所以 b?a?0,a?c?0,c?b?0．

可得b?a?b?a,a?c???a?c?,c?b?b?c．

所以 原式=?a?b???a?c???b?c??a?b?a?c?b?c??2c.

说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.

三、零点分段法

例3:已知0?a?4，那么a?2?3?a的最大值等于 （ ）

（A）1.（B）5.（C）8.（D）3. （第十届“希望杯”初一试题）解：(1)当0?a?2时，a?2?3?a?2?a?3?a?5?2a

a?2?3?a?2?a?3?a?5?2a，

在这一段内，当a?0时a?2?3?a取得最大值，最大值是5;(2)当2?a?3时，a?2?3?a?a?2?3?a?1;

(3)当3?a?4时，a?2?3?a?a?2??3?a??2a?5，

在这一段内，当a?4时a?2?3?a取得最大值，最大值是3;

综上可知，当0?a?4时，a?2?3?a的最大值是5.

答案为B.

说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.

四、分类讨论法

例4:如果a,b,c,d为互不相等的有理数，且a?c?b?c?d?b?1，那么

a?d等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

解:已知b?c，可设b?c，由于a?c?b?c，所以a?c与b?c必互为相反

数(否则a?b，不合题意)，即a?c???b?c?,a?b?2c.又因为b?c，所以

a?c.

由于b?c?d?b，所以b?c与d?b必相等(否则c?d，不合题意)，即

b?c?d?b，从而得2b?c?d.因为b?c，所以b?d.

因此有d?b?c?a.

所以a?d?a?d??a?c???c?b???b?d??1?1?1?3.

若设b?c，同理可得a?d?3.答案为C.

说明:本例的解法是采取把b，c分为b?c和b?c两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为a?b和a?b两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.