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导数
【考点透视】
了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理
解导函数的概念.
例1. f?(x)是f(x)?1
3
x3?2x?1的导函数,则f?(?1)的值是 .
[解答过程]?f?(x)?x2
?2,?f?(?1)???1?2
?2?3.
例2.设函数
( )
x?a
f(x)?
x?1
,集合M={x|f(x)?0},P={x|f
(x)?0},若M P,则实数a的取值范围是
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
[解答过程]由x?a
x?1
?0,?当a1时,1?x?a;当a1时,a?x?1.
x?a
?x?a?/ x?1??x?a? a?1
??
?
?
?y?
,?y/??
?
? ?? ? ?
2
2
?0.
?2
?
x
?a?1.
1 ?x 1?
x?1
x?1
综上可得M P时,
?a?1.
例3.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则l的方程为( )
4x?
C.4x?
y?3?0 B.x?4y?5?0
y?3?0 D.x?4y?3?0
[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0,即y?x4在某一点的导数为4,而y??4x3,所以y?x4在(1,1)处导数为4,此点的切线为4x?y?3?0.
故选A.
例4.已知两抛物线C :y?x2?2x,C :y??x2?a, a取何值时C,C有且只有一条公切线,
1 2 1 2
求出此时公切线的方程.
解答过程:函数y
?x2?2x的导数为y
?2x?2,曲线C在点P(x,x2
1 1 1
2x)处的切线方程为
1
y?(x2
1
?2x)?2(x?2)(x?x),即y?2(x?1)x?x2 ①
1 1 1 1 1
曲线C在点Q(x,?x2?a)的切线方程是y?(?x ?a)??2x(x?x)即
1 2 2 2 2 2
y??2xx?x2?a ②
2 2
若直线l是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是l的方程,故得
x?1??x,?x21 2 1
?x2
2
?1,消去x 得方程,2x2?2x?1?a?0
21 1
2
若△=4?4?2(1?a)?0,即a
??1时,解得x
2 1
??1,此时点P、Q重合.
2
∴当时a??1,C和C
2 1 2
有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为
y
?x?1.
4
考点3 导数的应用
1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题例5.函数
f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)
在开区间(a,b)内有极小值点( )
个
yy?f
y
y?f?(x)
b
a
O
x
C.3个
D.4个
[解答过程]由图象可见,在区间(a,b)内的图象上有2个极小值点.
故选B.
例6.设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c
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