初三数学同步辅导教材第5讲.docx

初三数学同步辅导教材 （第5讲）一、本周教学进度：6.3，6.4．

二、教学内容：

本周我们主要学习１．解直角三角形的基本方法２．解直角三角形的应用

三、重点、难点剖析

学习锐角三角函数后，在RtΔABC中，∠C＝90o．有如下的关系：边与边间的关系

a2＋b2＝c2(勾股定理)． B

角与角间的关系

∠A＋∠B＝90O（两锐角互为余角）． b

a

边、角间的关系

a

sinA＝

c

a

tgA＝

b

b

, cosA＝

c

b

， ctgA＝

a

, A c C

．（锐角三角函数定义）

上面这些关系是解直角三角形的工具，必须牢牢掌握．

在解直角三角形的问题中，除了要掌握好上述工具外，还应当注意哪些呢？１．我们知道，三角形的三条边、三个角是三角形的六个元素．解直角三角形是给出其

中某些元素，把其余元素都求出来的过程，除了要掌握上述的工具外，还应当知道给出哪些条件，才能求出其余元素．

显然，只有当所给条件能确定唯一的一个直角三角形时，这个直角三角形才是可解的．对照两个直角三角形全等的判定定理．我们将具有下面的条件之一的直角三角形，称为可解直角三角形：

（１）已知直角三角形的两边；

（２）已知直角三角形的一边及一锐角．

２．当一个直角三角形唯一确定时，它的周长、面积也应当是唯一确定的，因此解直角三角形时，除了边、角以外，还可求与周长、面积有关的问题．今后在学了“圆”以后，其内容将更加丰富．

四、典型例题

例１ 根据下列条件解直角三角形

（１）在RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.

2（２）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝50 .

2

解 （１）∵∠A＝30O， ∴∠Ｂ＝90O－30O＝60O.

a a

又∵sinA＝sin30O＝ ?

c 10

，∴a＝10?1

2

＝５.

b

∵cosA＝cos30O＝ ＝

10

， ∴b＝10? ＝5 .

332

3

3

102?523或由勾股定理得

102?52

3

说明 通过本例可看出在学习了三角函数后，通过边角间的三角函数关系解三角形更为简便．

50 2（２）∵sinA＝a? 50

50 2

c

? ，又∵A为锐角，∴∠A＝45O.

22

2

∴∠B＝90O－∠A＝45O.

∵sinB＝b

c

， ∴b＝c?sinB＝50 2? 2

2

＝50.

说明 熟记三角函数定义和特殊角的三角函数值，在解题中可提高解题速度.

Δ例2 已知ΔABC中，AB＝AC，BC＝30，S＝75

Δ

分析 作等腰三角形底边上的高AD，这样就把斜三角形问题转化为解直角三角形的问题．由ΔABC的面积和底边长可求得高AD的长，则直角三角形ABD是一个可解三角形．

解 作AD?BC，D为垂足．

3，求此三角形顶角的度数及周长．

A

B D C

∴S ＝1

?BC?AD＝75 3，

ΔABC

2

∴AD＝75

3?5 3．

15

∵BD＝DC＝1

2

BC＝15,

在RtΔABD中，ctg∠BAD＝AD

BD

5 3 3

? ? ．

15 3

3则∠BAD＝60O, ∴∠BAC＝120O.

3

又∵sin60O＝BD

33AB

3

3

， ∴ AB＝ 15

?10 ．

323∴ AB＋AC＋BC＝10

3

2

3

?10

?30?20(

?1)．

3答ΔABC的顶角度数为120O，周长为20(

3

?1)．

例３ 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为１∶ 3，坡面AB的

水平宽度为３ 3米，基面AD宽２米，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽．

分析 由已知，垂足E和点B间的线段BE的长．

A D

是坡面AB的水平宽度，斜坡AB的坡度１∶ 3就是

指tgB＝1 ?

3

3，由此可见ΔABE是可解的直角三 B E F

C3

C

角形．由于等腰三角形是轴对称图形．从RtΔABE中求得BE后，就不难得到基底BC的值．

解 在RtΔABE中，BE＝３ 3米．

∵斜坡AB的坡度为１∶ 3， ∴tgＢ＝1 ?

3

3，则∠B＝30O.

3

AE＝BE?tgB＝3 3? 3

3

＝3（米）．

又∵等腰梯形是轴对称图形， ∴BC＝AD＋２BE＝２＋６ 3（米）．

答 路基高AE的长为3米，坡角B为30o，基底BC宽为（2＋6 3）米．

说明 由于题中没有精确度的要求，所以结果中可保留根