初三数学同步辅导教材第3讲.docx

初三数学同步辅导教材 （第3讲）

一、 本周教学进度：

正切和余切

二、 本周教学内容：

１. 正切和余切的有关概念；

２. 解决运用正切和余切的有关问题．

三、 重点、难点剖析

１.正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：

sinA＝a

c

, cosA＝bc

, tgA＝ab

, ctgA＝b .

a

其中a、b分别为∠Ａ的对边和邻边，c为斜边．

学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解．

２. 学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆．

如，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９０°．

sinA＝cosB＝ a ;

c

cosB＝sinB＝b ;

c

tgA＝ctgB＝ a ;

b

A

cb

c

B a C

ctgA＝tgB＝b .

a

这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是经常用到的．

若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β．则 sinα＞sinβ; tgα＞tgβ;

cosα＜cosβ; ctgα＜ctgβ.

可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．

如，比较tg43°与ctg57°的大小

∵ tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°, 而ctg47°＞ctg57°即tg43°＞ctg57°

值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.

３．要熟记特殊角的三角函数值

余弦cosα322212

余弦

cosα

3

2

2

2

1

2

正切

tgα

3

3

１

3

余切

ctgα

１

3

3

3

角度α

函数值

30°

45°

60°

函数

名称

正弦

1

sinα

2

2

3

2

2

2怎样熟记呢？

2

1正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为

1

（＝１）、 、

332133；余弦为 、 、 （＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．

3

3

2

1

3

3

3正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（

3

( 3)

( 3)1

）1、(

)2、(

)3,

3tg3０°＝ ＝

3

3 3

， tg45°＝( 3

)2 3

3＝ ＝1

3

3

3tg60°＝(

3

3

) ＝3 ＝

333

3

3

. 余切则相反．

3必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且

3

sin０°＝０， cos0°＝1, tg0°＝0, ctg0°不存在；sin９０°＝１， cos90°＝1, tg90°不存在， ctg0°＝０．因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°．４．同角三角函数间的关系

同角三角函数间存在以下关系：平方关系：sin２α＋cos2α＝1;

商的关系：tgα＝sin? , ctgα＝ cos? ;

cos?

倒数关系：tgα＝ 1 , ctgα＝1

sin?

.

ctg? tg?

这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解．如，

sin２α＋cos2α

＝（a ）２＋（b ）２

c c

2 2

＝a +b ＝１ (c2＝a2＋b2);

2

c

cos?

b

＝ c ＝a ＝ sinα;

ctg? b c

a

tgα2ctgα＝a 2b ＝1, 即tgα＝

b a ctg?

四、 典型例题

例１ 在Rt△ABC中,∠C＝90°,a:b＝3:1,求∠Ａ的四个三角函数值．

解 ∵ a:b＝3:1, ∴ a＝3b

由勾股定理，得c＝

3b10 b则 sinA＝

3b

10 b

c

＝ b.

a2+b210c＝ 3

a2+b2

10

c

10

cosA＝b

c

tgA＝ab

＝

b10 b＝3b

b

10 b

＝ ; b

1010

10

＝3; B a C

ctgA＝b

a

＝ b ＝1 .

3b 3

cba1．解这道题的关键就是要熟知三角函数的定义,由于三角函数值是两边之比??结果是个数值，因而本题是通过把Rt△

c

b

a

1

．

例２