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题源探究·黄金母题
【例1】人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地
面的距离分别为r,r
，求卫星轨道的离心率.
1 2
考场精彩·真题回放
【例2】（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F
x2
是椭圆
a2
y2b2
?1?a?b?0?
的右焦
点，直线y?
b与椭圆交于B,C两点，且?BFC?90，则该椭圆的离心率是 ．
2
【解析】 由题意得F?c,0?，直线y?
b
与椭圆方程联立，
2
? 3a b? ? 3a b?
可得B??
?
, ?，C? , ?.由?BFC?90，
2 2? ? 2 2?
? 3a b? ? 3a b?
可得BF?CF?0，BF??c? ,? ?，CF??c? ,? ?，
? 2 2? ? 2 2?
3 1
则c2?
a2? b2
4 4
?0，由b2?a2?c2，
3 1 c 2 6
可得 c2
? a2，则e? ? ? ．
4 2 a 3 3
??CF?BF?2a
评注 另外也可以结合? ，得CF2?2CF?BF?BF2
??BC? 3a
?4a2，CF?BF? a2，
12
1
1 1 1 1 b 6
S ? CF?BF? a2? CB?h?
3a? ，解得a? 3b，进而e? ．设BC与y轴的交点
△BCF 2 4
2 2 2 3
为A，则经典转化?BFC?90??以BC为直径的圆过点F ?BF?CF?0?AF?1BC．
2
6.（2016全国丙卷理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C:
x2?y2a2 b2
?1(a?b?0)的左焦点，A，B分
别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF?x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM 经过OE的中点，则C的离心率为（ ）.
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
13.（2016山东理13）已知双曲线E:x2
a2
y2b2
?1?a?0,b?0?，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB，
CD的中点为E的两个焦点，且2AB?3BC，则E的离心率是 .
【解析】 由题意，BC?2c，又因为2AB?3BC，则AB?3c，于是点?c,3c?在双曲线E上，
2? ?
2
? ?
x2 y2 c2 9c2 c
代入方程 ?
a2 b2
?1，得
a2
?
4b2
?1，再由a2
+b2
=c2得E的离心率为e? ?2.
a
精彩解读
【试题来源】人教版选修2-1第80页复习参考题A组第2题．
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