常微分方程证明题.docx

（五）证明题

常微分方程习题集（5）

试证：如果?(t)是dX?AX满足初始条件?(t

dt 0

)??的解，那么

?(t)?expA(t?t

0

)?.

设y??

(x)和y??

1

(x)是方程y??q(x)y?0的任意两个解，求证：

2

它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．

假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dX?AX?Cemt，有一解形如：?(t)?Pemt，其中C,P是常数向量.

dt

设f(x,y)及?f

?y

连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充

要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程dy?y?f(x)

x??? dx

的任意解y?y(x)均有limy(x)?0.

x???

试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它

的通解.

n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.

设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：

y?C?(x)??(x)

是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。

设n?n矩阵函数A

1

(t)，A

2

(t)在（a,b）上连续，试证明，若方

程组dX

dt

?A(t)X与dX

1 dt

?A(x)X有相同的基本解组，则A

2 1

(t)?A

2

(t)。

证明：一个复值向量函数X??(t)?u(t)?iv(t)是（LH）的解

的充要条件，它的实部u(t)和虚部v(t)都是（LH）的解。

（五）、证明题参考答案

试证：如果?(t)是dX?AX满足初始条件?(t

dt 0

)??的解，那么

?(t)?expA(t?t

0

)?.

证明：因为?(t)?expAt是dX

dt

?AX的基本解矩阵，?(t)是其解，

所以存在常向量C使得：

?(t)?expAt?C，

令t?t

0

所以

，则：

??expAtC，

0

C?(expAt

0

故

)?1?，

?(t)?expAt?(expAt

0

)?1?

?expAt?exp(?At)?

0

?expA(t?t)?

0

设y??

(x)和y??

1

(x)是方程y??q(x)y?0的任意两个解，求证：

2

它们的朗斯基行列式W(x)?c，其中c为常数．

证明：设q(x)在区间I上连续，由刘维尔公式可知，对任意x

0

它们的朗斯基行列式W(x)满足：

?I，

W(x)?W(x

0

)exp(??xa

x01

(t)dt)，x ?I

0

而在方程y??q(x)y?0中，a

1

(x)?0，所以

W(x)?W(x

0

)1?W(x)，

0

即 W(x)?c， x?I

假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dX?AX?Cemt，有一解形如：?(t)?Pemt.其中C,P是常数向量.

dt

证明：要证?(t)?pemt是解，就是要证能够确定常数向量P，它使得

即Pmemt?APemt?Cemt，成立。亦即

d(Pemt)dt

?APemt?Cemt，

P(mE?A)?C，

由于m不是A的特征值，故mE?A?0，从而mE?A存在逆矩阵，那么可取向量，

P?C(mE?A)?1，

这样方程就有形如?(t)?Pemt的解.

设f(x,y)及?f连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充

?y

要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

证明：先证必要性，设方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程，即

dy?(p(x)y?f(x))dx?0，

所以 ?M?p(x),

?y

?N?0，

?x

?M??N

?y ?x ?p(x)，N

即它有仅依赖与x的积分因子，且?(x)?exp(?p(x)dx)是其积分因子。

再证充分性，因为在方程dy?f