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第五讲：因式分解

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、添项拆项法，另外还应了解求根法及待定系数法．

一、提取公因式法

【例1】因式分解：

(1) x?x3 (2) x(x?1)(x?1)?(1?x)(1?x)

二、公式法

【例2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) x2y?y

(3)8?x3

练习：(1) x?x3

(3) x6?1

(2)b4?2b2?1

(4) 0.125?27b3

(2) x(x?1)(x?1)?x(1?x)

(4) mb2?2bm?m

(5) x6?y6 (6) ?27x3?8

?ABC三边a，b，c满足a2?b2?c2?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状．

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三、分组分解法

【例3】把ax?by?bx?ay分解因式．

【例4】把2x2?4xy?2y2?8z2分解因式．

练习：(1) a2?4b2?2a?1 (2) ab(c2?d2)?(a2?b2)cd

(3) 2x2?xy?y2?4x?5y?6 (4) a5?a3?a2?a

四、十字相乘法

x2

(p?q)x?pq型的因式分解

【例5】分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；

（3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y;

（5）2x2－3x-2； （2）3x2＋4x+1.

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关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0的)

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因式分解．

【例6】 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2．

五．配方法

五．配方法

【例7】分解因式x2?6x?16

六．拆、添项法

六．拆、添项法

【例7】分解因式x3?3x2?4

【例8】分解因式（1）a3?b3； （2）a3?b3．

课后练习：1．把下列各式分解因式：

(1) a3?27 (2)8?m3

把下列各式分解因式：

(1) xy3?x4 (2) xn?3?xny3

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(3) ?27x3?8

(3) y2(x2?2x)3?y2

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把下列各式分解因式：

x2

?3x?2 (2) x2

?6x?27

(3) m2

?4mn?5n2

把下列各式分解因式：

ax5

?10ax4

?16ax3

(2) an?2?an?1b?6anb2 (3) (x2?2x)2?9

(4)8x2?26xy?15y2 (5) 7(a?b)2?5(a?b)?2

把下列各式分解因式：

3ax?3ay?xy?y2

(2)8x3

?4x2

?2x?1 (3)5x2

?15x?2xy?6y

(4) 4xy?1?4x2

y2

a4b?a3b2

a2b2

ab4

x6

y6

?2x3?1

(7) x2(x?1)?y(xy?x)

已知a?b?

2,ab?2，求代数式a2b?2a2b2?ab2的值．

3

证明：当n为大于2的整数时，n5

?5n3

4n能被120整除．

已知a?b?c?0，求证：a3

a2c?b2c?abc?b3

?0．

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