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华南农业大学期末考试试卷答案
2014-2015学年第2学期考试科目：数学分析BII
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
函数项级数在的每一项都有连续的导数，且在某点收敛，且_在上一致收敛,则有
2.在上平均值为
3.幂级数的收敛域为
4.已知的一个原函数是，则
=
5.设函数，则
得分
二、解答题（每题6分，共48分）
(1)(2)
(1)
(2)（2分）
(3)
解:令，则（2分）
（4）
解:令,则（1分）
(5)求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积.
解：上半圆和下半圆可分别表示为
（1分）
（3分）
体积为（6分）
(6)求星形线的全长.
解：由弧长的参数方程公式得:
（7）讨论是否收敛？若收敛，则求其值.
解（1）当时，有
=。（1分）
因最后的极限不存在，故当时，不收敛（2分）
当时
故仅当时，收敛，其值为，时发散。（6分）
（8），绕轴所得旋转曲面的面积.
解：
由旋转体侧面积公式，得
1.5CM三（本题7分）证明不等式
1.5CM
解：设，则，得在上唯一的驻点为，
可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值，
所以为函数在上的最大值。（2分）
又，，
且，
故..为在上的最小值。（4分）
从而，由此得.（6分）
四（本题12分）判断级数的收敛性
（1）（2）
由于收敛，且单调，有界（4分）。
由于Abel判别法可得级数收敛（6分）。
，
故该级数收敛（6分）
五（本题10分）求下列幂级数的和函数（应同时指出定义域）：
解：因为=，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为，（4分）
设其和函数为，于是当时，逐项求导数可得
，所以，（）（10分）
六（本题8分）下面两小题请任选一题：
过轴且与平面的夹角为，求此平面方程.
设求此函数的幂级数展开式.
解：（1）
因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，（2分）
由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为
，（4分）所以），令，则有，由题设得
，
解得或，于是所求平面方程为或
(2)
当时，有
=+
=
=
=（7分）
（当时，右端收敛，所以有）（8分）
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