微积分78极值与最值课件.pptVIP

第九章第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值目录上页下页返回结束

一、多元函数的极值定义:若函数的某邻域内有则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.目录上页下页返回结束

例1.已知函数的某个邻域内连续,且A则()(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(2003考研)提示:由题设目录上页下页返回结束

定理1(必要条件)函数存在偏导数,且在该点取得极值,则有证:取得极值,故取得极值取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明:使偏导数都为0的点称为驻点.但驻点不一定是极值点.例如,有驻点(0,0),但在该点不取极值.目录上页下页返回结束

定理2(充分条件)若函数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令A0时取极大值;A0时取极小值.则:1)当时,具有极值时,没有极值.2)当3)当时,不能确定,需另行讨论.证明见第九节(P121).目录上页下页返回结束

例2.求函数的极值.解:第一步求驻点.解方程组得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.求二阶偏导数在点(1,0)处为极小值;目录上页下页返回结束

在点(1,2)处不是极值;不是极值;在点(?3,0)处在点(?3,2)处为极大值.目录上页下页返回结束

在点(0,0)例3.讨论函数是否取得极值.及解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值正可能为,因此z(0,0)不是极值.负0因此为极小值.目录上页下页返回结束

二、最值应用问题依据函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值极值点最值可疑点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值(大)为最小值(大)目录上页下页返回结束

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例5.某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.目录上页下页返回结束

三、条件极值无条件极值:对自变量只有定义域限制极值问题条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制条件极值的求法:方法1代入法.例如,转化求一元函数的无条件极值问题目录上页下页返回结束

方法2拉格朗日乘数法.例如,分析：如方法1所述,可确定隐函数的极则问题等价于一元函数值问题,故极值点必满足故有记目录上页下页返回结束

极值点必满足引入辅助函数则极值点满足:辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.目录上页下页返回结束

拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.推广在条件例如,求函数下的极值.设解方程组可得到条件极值的可疑点.目录上页下页返回结束

则解答另一方面,由问题的实际意义知u=4×4×4=64为所求.目录上页下页返回结束

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的长方体开口水箱,试问例8.要设计一个容量为水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？解:设x,y,z分别表示长、宽、高,则问题为求x,y,下水箱表面积z使在条件最小.令解方程组目录上页下页返回结束

得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,因此当高为,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.目录上页下页返回结束

内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.如对二元函数即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法(2)一般问题用拉格朗日乘数法目录上页下页返回结束

如求二元函数在条件下的极值,设拉格朗日函数解方程组求驻点.3.函数的最值问题第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)第二步判别?比较驻点及边界点上函数值的大小?根据问题的实际意义确定最值目录上页下页返回结束

思考与练习已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),圆周上求一点C