课时分层作业38　导数在函数有关问题及实际生活中的应用.doc

课时分层作业(三十八)导数在函数有关问题及实际生活中的应用

一、选择题

1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时

A．6m B．8m

C．4m D．2m

C[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，

因此h＝eq\f(256,64)＝4(m).]

2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()

A．32，16 B．30，15

C．40，20 D．36，18

A[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为eq\f(512,x)米，因此新墙总长L＝2x＋eq\f(512,x)(x0)，则L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去).

此时长为eq\f(512,16)＝32(米)，可使L最短．]

3．函数y＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为()

AB

CD

A[由题意，函数f(x)＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，

满足f(－x)＝cos(－x)＋ln(|－x|＋1)＝cosx＋ln(|x|＋1)＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，

且f(0)＝cos0＋ln(|0|＋1)＝1，f(π)＝cosπ＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，

又由当x∈(0，2π]时，f(x)＝cosx＋ln(x＋1)，则f′(x)＝－sinx＋eq\f(1,x＋1)，

则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＋eq\f(1,\f(π,2)＋1)＜0，f′(π)＝－sinπ＋eq\f(1,π＋1)＞0，即f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))·f′(π)＜0，

所以函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))之间有一个极小值点，故选A.]

4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为()

A．0 B．1

C．2 D．取决于a的值

C[f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x).因为函数f(x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f′(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]

5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x400，))则总利润最大时，每年生产的产品是()

A．100 B．150

C．200 D．300

D[由题意，得总成本函数为

C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x400.))

所以P′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x400.))

令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]

二、填空题

6．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．

eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)[由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，

∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0x2).

∴S′＝8－6x2.

令S′＝0，解得x1＝eq\f(2,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(2,3