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存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年各地中考的“热点”.解这类题目的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.专项十二几何图形存在性问题
例1如图,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求点A,B的坐标.(2)求抛物线对应的函数表达式.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.类型一等腰三角形存在性问题专项十二几何图形存在性问题
【分层分析】(1)分别令x=0,y=0求解.解:(1)∵直线y=3x+3,∴当x=0时,y=3,当y=0时,x=-1,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,3).专项十二几何图形存在性问题
例1如图,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(2)求抛物线对应的函数表达式.【分层分析】(2)根据A,B,C三点坐标即可求出抛物线对应的函数表达式,思考此处应选择哪种形式的二次函数表达式求起来比较简单.专项十二几何图形存在性问题
例1如图,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(3)根据抛物线对应的函数表达式先求出对称轴,△ABQ是等腰三角形可分为哪几种情况?设Q点坐标,根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标.专项十二几何图形存在性问题
专项十二几何图形存在性问题
专项十二几何图形存在性问题
【方法点析】求解等腰三角形的存在性问题有两种基本方法:(1)代数法:适用于三角形的边长容易由勾股定理求解的情况.步骤如下:①根据点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2;②根据等腰三角形的性质,可得到三个方程:AB2=BC2,BC2=CA2,CA2=AB2;③分别解这三个方程,若能得到方程有解,则这个解即为所求;若方程无解,则不存在这样的三角形.专项十二几何图形存在性问题
(2)几何法(两圆一线法):利用数形结合,先找点,再计算已知线段AB,在平面内找一点C,使得△ABC为等腰三角形,满足条件的点C在如图Z8-2所示的以点A,B为圆心,以线段AB长为半径的圆上(除圆上与AB在一条直线上的两点),或在线段AB的垂直平分线上(除与AB在一条直线上的点).若要求点C在某一条曲线上,则点C为该曲线与上图的交点.图Z8-2专项十二几何图形存在性问题
类型二直角三角形、全等三角形存在性问题图Z8-3例2如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线对应的函数表达式.(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.专项十二几何图形存在性问题
解:(1)把(1,-4)的坐标代入y=kx-6,得k=2,∴直线AB对应的函数表达式为y=2x-6.令y=0,解得x=3,∴点B的坐标是(3,0).∵点A为抛物线的顶点,∴设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)2-4,把B(3,0)的坐标代入,得4a-4=0,解得a=1,∴抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.专项十二几何图形存在性问题
例2如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.专项十二几何图形存在性问题
专项十二几何图形存在性问题
例2如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.专项十二几何图形存在性问题
专项十二几何图形存在性问题
例3如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),若以点A,B,C为顶点作一个平行四边形,试写出第四个顶点D的坐标,你的答案唯一吗?【分层分析】(1)符合条件
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