波利亚与《怎样解题》表.docx

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波利亚与《怎样解题》表

乔治·波利亚(GeorgePolya,1887-1985)美籍匈牙利数学家。先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根,巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学,获布达佩斯大学哲学博士学位,是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。

波利亚毕生从事数学研究和数学教学工作,他一生发表了200多篇论文和许多专著,他在数学的广阔领域内有精深的造诣,许多数学分支上都做出了开创性的贡献,留下了许多以他的名字命名的术语和定理。波利亚热心数学教育,十分重视培养学生思考问题和分析问题的能力,他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。“学习数学的主要目的在于解题。”“解题是一种本领,是只能靠模仿和实践才能学到的本领。”解题关键在于找到合适的解题思路,认为“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现,因为这种发现,理解最深,也最容易掌握其中的规律、性质和联系。直接从老师或书本那儿被动的不假思索的接受过来的知识,可能很快忘掉,难于成为自己的东西。”

波利亚说:“掌握数学意味着什么?这就是说善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考,思路合理,见解独到和有发现创造的题。”他认为中学数学教学的首要任务就是“加强解题的训练”,“解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。这种思想得到了国际数学教育界的一致赞同,国际数学管理者委员会把解题能力列为十项基本技能的首位,美国数学教师联合会理事会把解题提到了“学校数学的核心”这一高度。

“学习难,学习数学更难”,许多人对数学望而生畏,大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历:一道题,自己总也想不出解法,而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法,这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的?为什么我没有想到呢?”作为数学教授的波利亚为了改变数学在公众心目中的形象,致力于解题的研究,为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,他很早就开始探索数学中的发明创造,利用在大学任教的机会,通过与学生的交流和对学生的细致观察,认真研究了人们解题的过程,通过和一批数学大家的交流,花了整整三十年的时间,直到1944年才发展为名著《怎样解题》一书。该书出版后,被译成多种文字,直到今天,该书仍被各国数学教育界奉为经典,波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜,在全世界广为流传。

波利亚指出:解题的价值不是答案的本身,而在于弄清“是怎样想到这个解法的?”、“是什么促使你这样想,这样做的?”这就是说,解题过程还是一个思维过程,是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”,“当你有目的地向自己提出问题时,它就变成你自己的问题了”,“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤,只要解题时按这四个步骤去做,必能成功。如果能在平时的解题中不断实践和体会该表,必能很快就会发出和波利亚一样的感叹:

“学数学是一种乐趣!”

“怎样解题”表

第一,你必须弄清问题

弄清问题

未知数是什么?已知数据(指已知数、已知图形和已知事项等的统称)是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来?

第二,找出已知数(已知条件)与求知数(要求的问题)之间的联系。如果找不出直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题,你能应用它吗?

你能不能利用它?你能利用它的结果吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素?

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话,你能不能改变未知数和数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

第三,实行你的计划。

实现

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