第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标运算（学生版）.docxVIP

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标运算

(核心考点精讲精练)

考情探究

4年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新I卷，第3题，5分

平面向量线性运算的坐标表示

向量垂直的坐标表示

利用向量垂直求参数

2022年新Ⅱ卷，第4题，5分

平面向量线性运算的坐标表示

数量积及向量夹角的坐标表示

2021年新Ⅱ卷，第10题，5分

坐标计算向量的模

数量积的坐标表示

逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2020年新Ⅱ卷，第3题，5分

向量加法的法则

向量减法的法则

无

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1了解向量的实际背景理解平面向量的基本概念，理解向量的几何表示

2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义

3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义

4理解向量的线性运算性质及其几何意义

5会向量间的坐标运算

【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

a三角

a

三角形法则

平行四边形法则

交换律：a+b=b+a;

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

减法

求a与b的相反向量

—b的和的运算

a-b=a+(-b)

数乘

求实数与向量a的积

的运算

i.a|=a,当0时，ia

与a的方向相同；当0时，λa与a的方向相反；

当λ=0时，ia=0

(ua)=(y)a;(λ+μ)a=

ia+μa;

λ(a+b)=λa+ib

1.平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓

住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同

类项的运算，在计算时可以进行类比.

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=ia

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数：对于线段的定比分点问题，

用向量共线定理求解则更加简洁.

(1)若OA=λOB+μoc(i,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.

(2)P为线段AB的中点：).

4.向量的坐标运算

(1)两点间的向量坐标公式：

A(x??Y?),B(x??y?),AB=终点坐标-始点坐标=(x?-xj?Y?-y?)

(2)向量的加减法

a=(x?}?),b=(x?.Y?):a+b=(x?+x?,Y?+y?),a-b=(x?-x?,}-y?)

(3)向量的数乘运算

a=(x,y),则：Aā=λ(x,y)=(ax,y)

(4)向量的模

a=(x,y),则a的模|=√F+y2

(5)相反向量

已知a=(x,y),则-a=(-x;-y);已知

(6)单位向量

a=(x,y)

同向单位向量

反向单位向量；

(7)向量的平行关系

a=(x?)),b=(x?y?),alb?a=λb?xY?=x?M

典例引领

1.(辽宁高考真题)已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量为

2.(福建高考真题)对于向量a,b,e和实数λ,下列命题中真命题是()

A.若aS=0,则a=0或b=ōB.若λa=0,则λ=0或a=ō

C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若ab=āc,则b=e

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1.(2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测)下列说法中正确的是()

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

c.对于任意向量a,b,必有là+bsa|+1?l

D.若a,b满足|ap|引且a与5同向，则ab

b

2.(2023·北京大兴·校考三模)设a,5是非零向量，J=园是“a=b”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

典例引领

1.(20