中考数学二轮复习压轴题培优专练专题05 线段的数量和位置关系的探究题（解析版） .doc

专题05线段的数量和位置关系的探究题

线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。

线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：

（1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，通过转化可以求解。

（2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。

（3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关系。

（4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到线段的数量与位置关系。

（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明SKIPIF10ADE≌SKIPIF10ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝SKIPIF10，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；

（2）结论：CB+CD=SKIPIF10AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论；

（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．

【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；

(2)CB+CD=SKIPIF10AC；理由见详解；

(3)SKIPIF10或SKIPIF10

【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADE+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADE，

在△ADE和△ABC中，

SKIPIF10，

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，

∴∠CAE=∠BAD=60°，

∴△ACE的等边三角形，

∴CE=AC，

∵CE=DE+CD，

∴AC=BC+CD；

（2）解：结论：CB+CD=SKIPIF10AC．

理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠CDA+∠CBA=180°，

∵∠ABN+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABN，

∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，

∴△AMD≌△ANB（AAS），

∴DM=BN，AM=AN，

∵AM⊥CD，AN⊥CN，

∴∠ACD=∠ACB=45°，

∴AC=SKIPIF10CM，

∵AC=AC．AM=AN，

∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），

∴CM=CN，

∴CB+CD=CNSKIPIF10BN+CM+DM=2CM=SKIPIF10AC；

（3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．

∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，

∴∠CDB=30°，

∵∠DCB=90°，

∴CD=SKIPIF10CB，

∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，

∴OP=OQ，

∴SKIPIF10，

∴SKIPIF10，

∵AB=AD=SKIPIF10，∠DAB=90°，

∴BD=SKIPIF10AD=2SKIPIF10