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教学目标

知识目标：点的运动方程，点的速度及加速度，点的速度在直角坐标轴上的投影，点的加速度在直角坐标轴上的投影，自然轴系，点的速度在自然轴上的投影，点的加速度在自然轴上的投影。

能力目标：能够用三种不同的方法描述点的曲线运动规律

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

理论力学-点的运动学

〖理论学习〗

6.1点的运动方程、速度和加速度

6.1.1点的运动方程

点在空间运动时所经过的路线称为点的运动轨迹。如果点的运动轨迹为直线，则点为直线运动；如果点的运动轨迹为曲线，则点为曲线运动。

若点M做直线运动，如图6-1所示。可取此直线为参考轴，直线上任一点O作为坐标原点，规定沿直线的某一方向为x轴的正向。利用点的坐标x来确定点在空间的位置。当点运动时，点的位置，即坐标x随时间t发生变化，故可将坐标x表示为时间t的单值连续函数，即x=f(t)(6-1)

若函数x=f(t)已知，则动点在每一瞬时的位置便可唯一确定。式(6-1)称为点M的直线运动方程。

当点M做曲线运动时，虽相对于直线运动更为复杂，但同样可用函数描述其几何位置随时间运动的规律。描述点的曲线运动规律可有多种表达方式，下面介绍几种常用的方法。

1.矢量法

动点M在任一瞬时的位置均可由矢径r唯一确定，这种用矢量确定点位置的方法称为矢量法。当点M运动时，矢径r的大小和方向随时间t发生变化，r是时间的单值连续矢量函数，即

r=r(t)(6-2)

式（6-2）称为以矢量表示的点的运动方程。

矢量法描述点的运动，只需要选择一个参考点，无须建立参考系就可表示点的运动方程。在点的运动轨迹未知的情况下，该方法形式简单，主要用于概念的定义及公式理论推导和证明。

2.直角坐标法

图6-3

x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)(6-3)

方程(6-3)描述了点在空间直角坐标系中的运动规律，称为以直角坐标法表示的点的运动方程。点在空间的运动轨迹未知的情况下，采用直角坐标法描述其运动状况，该方法简便易操作，主要用于实际计算。

3.自然法

弧长s为代数量，称为点M在轨迹上的弧坐标。

当点M运动时，其弧坐标s随时间不断变化，是时间t的单值连续函数，即

s=f(t)（6-5）

式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表示的点的运动方程。若已知s=f(t)，则点在轨迹上的位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并利用弧坐标来描述和分析点的运动的方法称为自然法。在点的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点的运动较为便利，该方法也主要用于实际计算。

6.1.2点的速度

图6-5

点的速度矢等于点的矢径对于时间的一阶导数，其方向为Δr或MM′取极限时的方向，亦即轨迹曲线的切线方向，并与点的运动方向一致，如图6-5所示。

6.1.3点的加速度

点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，亦是点的矢径对时间的二阶导数。

在空间任取一定点O，把动点M在t1,t2,…,tn各瞬时的速度矢量v1,v2,…,vn都平行地移动到点O，如图6-7所示。

图6-7

连接各速度矢量端点得到的曲线称为动点M的速度矢端曲线。由加速度的概念可知，加速度矢的方向沿着点的速度矢端曲线的切线方向。

加速度矢量a的模a即为加速度的大小。在国际单位制中，加速度的单位是m/s2。

6.2点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影

6.2.1点的速度在直角坐标轴上的投影

动点的速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的一阶导数。

6.2.2点的加速度在直角坐标轴上的投影

动点的加速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的二阶导数。

应用直角坐标法求解实际问题，通常有以下两种类型：

(1)已知动点运动的部分条件，求动点的运动方程、轨迹、速度和加速度；或已知机械系统中主动构件的运动规律，求从动部件上某一点的运动规律。

(2)已知动点的加速度及其运动的初始条件（当t=0时，动点的位置坐标和速度），求动点运动方程。数学上是求已知函数的积分问题。

6.3点的速度和加速度在自然轴系上的投影

6.3.1自然轴系

当点的运动轨迹已知时，采用自然法描述点的运动较为方便。因此，为表示点的速度和加速度前需建立自然轴系。

设任意空间曲线AB，如图6-12所示，在该曲线上任取两点M与M′，并分别作曲线在此两点的切线MT、M′T′。若过M点作直线MQ平行于M′T′，则直线MT与MQ确定一个平面。当M′点逐步趋近于M点时，该平面将绕MT旋转而不断改变它在空间的方位。当M′无限趋近于M点时，此平面趋近于某一极限位置，这个极限平面P称为曲线AB在M点处的密切面。

显然，空间曲线上各点的密切面随点的位置不同而变化。过M点