上海市复兴高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）.docVIP

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复兴中学2023学年第二学期高一年级数学期末

2024.06

一?填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.已知等差数列满足，则__________.

2.设复数满足（是虚数单位），则__________.

3.已知，则角是第__________象限的角.

4.已知复数满足，则__________.

5.已知，则__________.

6.记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了__________项.

7.已知，则向量在向量方向上的数量投影为__________.

8.在数列中，，则__________.

9.已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为__________.

10.在中，且，则的面积等于__________.

11.若正项等比数列满足：，则的最大值为__________.

12.如图，动点在以为直径的半圆上（异于），，且，若，则的取值范围为__________.

二?选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）

13.“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

14.下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（）

A.B.

C.D.

15.等差数列中，已知，且，则数列前项和中最小的是（）

A.或B.C.D.

16.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（）

A.4B.C.D.6

三?解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知，且与的夹角为，设.

（1）求的值；

（2）若，求实数的值.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根.

（1）设满足方程，求；

（2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知是等差数列，是等比数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足.

（1）求证：；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知函数，其中.

（1）若，求的值；

（2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值；

（3）令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值.

参考答案

一?填空题

1.12.3.三4.35.36.

7.8.9.或10.或11.12.

11.【答案】2

【解析】数列是各项均为正数的等比数列，，

等比数列各项均为正数，，当且仅当时，取等号，

时，的最大值为2.故答案是：2.

12.【答案】

【解析】设，则，作则的延长线于点，

由余弦定理

所以，即，

因为，所以，所以

所以故答案为：.

二?选择题

13.C14.D15.C16.C

15.【答案】C

【解析】等差数列中，已知，且，

设公差为，则，解得

.

令，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是，故选C.

16.【答案】C

【解析】因为为的中点，且.

所以

因为三点共线，所以，由图可知，，

所以

当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：C

三?解答题

17.（1）（2）

18.（1）或（2）

19.（1）（2）

20.【答案】（1）见解析（2）（3）或9

【解析】（1）证明：由已知，

而函数在上是而函数，所以

（2）因为，所以，

两式相减，得所以，数列的通项公式为

（3）因为，

由题意，为的最大项，则，要使为最大值，则

则.得或，所以存在或9，使得成立

21.【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）函数

若，则与是相邻的最小值点和最大值点，

所以的最小正周期为，由，解得；

（2）

所以

所以或，

解得或，

又，得，所以，函数最