20162017学年苏教版高中数学必修2章末知识 含解析.docxVIP

章末知识整合

一、数形结合思想

“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．

解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面：

直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决．(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系

等都可能用到数形结合思想．

例1] 已知圆C

：x2＋y2＝4和圆C：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝

51 2 2

5

x＋b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．

解：画出示意图如图所示，

5

直线y＝

2x＋b，即 5x－2y＋2b＝0.

C当直线与圆

C

1

相切时，

|2b| ＝2，

5＋4

解得b＝±3；

|－16＋2b|

C当直线与圆 相切时，

C

2

结合图形可知3b5.

5＋4

＝2，解得b＝5或b＝11.

规律总结

圆是一种几何特征非常明显的图形．在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题．

变式训练]

设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，则

（x－1）2＋（y－1）2的最大值为 ．

解析：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，

所以 （x－1）2＋（y－1）2表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离．

易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，如图所示，所以

（x－1）2＋（y－1）2的最大值为

（1－0）2＋（1＋4）2＋2＝ 26＋2.

答案：26＋2

已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使

△AMN的周长最短，并求出最短周长．

解：由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1，

3)，同理可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．

则AM＋AN＋MN＝BM＋CN＋MN≥BC，当且仅当B，M，N，C

四点共线时，△AMN的周长最短，为BC＝2 5.

由点B(1，3)，C(3，－1)可得直线BC的方程为2x＋y－5＝0.

? 5

??2x＋y－5＝0，

?x＝3，

3由? 得?

3

??y＝x，

??y＝5.

?5 5?

3 3故点M的坐标为? ， ?.

3 3

? ?

对于2x＋y－5＝0，令y＝0 5

，得x＝2，

故点N的坐标为?5，0?.

?2 ?

? ?

?5 5? ?5 ?

3 3 2故点M? ， ?与点N? ，0?即所求，此时△AMN的周长最短，且最

3 3 2

? ? ? ?

短周长为2 5.

二、分类讨论思想

分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题．

例2] 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．

解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－

1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为

y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.

2

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－ .

k

? 2?

k由题意?－1＋ ?＝1，即k＝1.

k

? ?

所以这两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

综上可知，所求的直线方程分别为

x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

规律总结

研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不

存在两个方面分类讨论．这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一．

变式训练]

已知直线l：4x－ysinθ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．

解：直线l的方程中y的系数是－sinθ，而sinθ的值域是－1，1]，sinθ的值可取零，但sinθ＝0的直线的斜率不存在，故视sinθ为研究对象，分类讨论．

当sinθ＝0，即θ＝kπ(k∈Z)时，

直线l的斜率不存在，倾斜角α π

＝2；

当sinθ≠0，即θ≠kπ(k∈Z)时，

直线l的斜率k＝ 4 k的取值范围为(－∞，－4]∪4，＋∞)．

sinθ

三、函数与方程思想

函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点