2023年考研数学三真题及答案详解版.docVIP

全国硕士硕士入学统一考试数学三试题详解

一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前字母填在题后括号内.

（1）设函数在区间上持续，则是函数（）

跳跃间断点. 可去间断点.

无穷间断点. 振荡间断点.

解：

分析：，因此是函数可去间断点。

（2）设持续，，，，则，则（）

解：选

分析；用极坐标得

（3）设则函数在原点偏导数存在状况是()

解：

分析：，

故，因此偏导数不存在。

因此偏导数存在。故选

（4）曲线段方程为函数在区间上有持续导数则定积分（）

曲边梯形面积. 梯形面积.

曲边三角形面积. 三角形面积.

解：

分析：

其中是矩形面积，为曲边梯形面积，所认为曲边三角形面积。

（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（）

不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.

可逆，可逆. 可逆，不可逆.

解：

分析：，

故均可逆。

（6）设则在实数域上和协议矩阵为（）

. .

. .

解：

分析：

则。记，则

则

正、负惯性指数相似，故选

（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（）

. .

. .

解：

分析：

（8）随机变量，且有关系数，则（）

. .

. .

解：选

分析：用排除法

设，由，懂得正有关，得，排除、

由，得

排除

故选择

二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数在内持续，则.

解：1

分析：由

（10）函数，求积分.

解：

分析：

因此

（11）.其中

解：

分析：

（12）微分方程求方程特解.

解：

分析：由因此，又，因此.

（13）设3阶矩阵特性值1，2，2，.

解：特性值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得

分析：，

因

，则

（14）设随机变量服从参数为1泊松分布，则.

解：

分析：由于，因此，服从参数为1泊松分布，

因此

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.

(15)（本题满分10分）

求极限.

解：

(16)（本题满分10分）

设是由方程所确定函数，其中具有2阶导数且时，求

(1)

（2）记，求.

解：

①

②

(17)（本题满分10分）

是周期为2持续函数，

（1）证明对任意实数所有有

（2）证明是周期为2周期函数．

解：

（1）对于，令，则

由于周期为2，因此

因此

（2）

由于

因此

因此

因此是周期为2周期函数

(18)（本题满分10分）

求二重积分其中

解：

(19)（本题满分10分）

已知年复利为0.05，现存万元，第一年取出19万元，次年取出28万元，…第年取出10+9万元，问至少为多少时，可以一直取下去？

解：由题得

设

两边求积分

由，

对上式两边求导

令，则

因此至少应为3795.

(20)（本题满分11分）

设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，

（1）求证

（2）为何值，方程组有唯一解，求

（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解

解：①

②方程组有唯一解

由，知，又，故。

记，由克莱姆法则知，

③方程组有无穷多解

由，有，则

故

同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。

又，故可取特解为

因此通解为为任意常数。

（21）（本题满分11分）

设为3阶矩阵，为分别属于特性值特性向量，向量满足，

证明（1）线性无关；

（2）令，求.

解：（1）假设线性有关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同步为0，则为0，由可知）

又

，整顿得：

则线性有关，矛盾（由于分别属于不同样特性值得特性向量，故线性无关）.

故：线性无关.

（2）记则可逆，

即：，.

（22）（本题满分11分）

设随机变量和互相独立，概率分布为，概率密度为，记

（1）求

（2）求概率密度．

解：1.

2.当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

因此，则

（23）（本题满分11分）

是总体为简朴随机样本.记，

，

（1）证是无偏估计量.

（2）当时，求.

解：(1)

由于：,,而

,因此T是无偏估计

(2),,

由于

令

因此

由于且

,

因此