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图形与根式的变形与等价性

一、图形的变形

1.1平面图形的变换

平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小不变。

旋转：在平面内，将一个图形绕某一点旋转一定的角度，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小不变。

1.2空间图形的变换

旋转：在空间中，将一个图形绕某一条轴旋转一定的角度，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小不变。

翻折：在空间中，将一个图形沿着某一条轴翻折，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小不变。

二、根式的变形

2.1根式的加减法

同底数幂的根式相加减：将根号内的数化为相同的形式，然后进行加减运算。

不同底数幂的根式相加减：先将根式化为同类根式，然后进行加减运算。

2.2根式的乘除法

同底数幂的根式相乘除：将根号内的数相乘除，指数相加减。

不同底数幂的根式相乘除：先将根式化为同类根式，然后进行乘除运算。

2.3根式的乘方与开方

根式的乘方：将根号内的数乘方，指数相乘。

根式的开方：求根号内数的开方，注意开方的正负性。

三、根式的等价性

3.1根式的等价变换

分子有理化：将根式乘以自身的共轭式，使分母变为有理数。

分式分解：将含有根式的分式进行分解，化简表达式。

3.2根式的等价性判断

根据根式的性质，判断两个根式是否等价，即判断它们的形状和大小是否相同。

四、综合应用

4.1图形与根式的综合应用

在实际问题中，将图形的变换与根式的变形相结合，解决相关问题。

4.2实际例子

利用图形的变换和根式的变形，解决实际问题，如几何图形的放大与缩小、物理中的运动问题等。

以上就是关于图形与根式的变形与等价性的知识点介绍，希望对您有所帮助。

习题及方法：

习题：将图形O顺时针旋转90°，求旋转后的图形A的坐标。

根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。

确定旋转中心，本题中为原点O。

计算旋转角度，本题中为90°。

根据旋转公式，求出图形A的坐标。

答案：图形A的坐标为(1,0)。

习题：将根式2√3除以√5，求结果。

根据根式的除法法则，将分子分母同乘以分母的共轭式。

化简根式，使其成为最简形式。

答案：2√3/√5=2√15/5。

习题：已知√7+√3=5，求√7-√3的值。

将已知等式两边平方，得到(√7+√3)^2=25。

根据完全平方公式展开左边，得到7+2√21+3=25。

化简得到2√21=15。

再将2√21除以2，得到√21=15/2。

将√7-√3表示为已知根式的差，即√7-√3=√(21/4)-√3。

根据根式的减法法则，将两个根式化为同类根式，然后进行减法运算。

答案：√7-√3=√(21/4)-√3=15/2-√3。

习题：将分式√3/√5乘以√5/√5。

根据根式的乘法法则，将分子分母分别相乘。

化简分式，使其成为最简形式。

答案：√3/√5*√5/√5=√3/√5*√5/√5=3/5。

习题：求根式(√2+√3)^2的值。

根据完全平方公式展开，得到(√2+√3)^2=2+2√6+3。

化简得到(√2+√3)^2=5+2√6。

答案：(√2+√3)^2=5+2√6。

习题：已知√5+√2=4，求√5-√2的值。

将已知等式两边平方，得到(√5+√2)^2=16。

根据完全平方公式展开，得到5+2√10+2=16。

化简得到2√10=9。

再将2√10除以2，得到√10=9/2。

将√5-√2表示为已知根式的差，即√5-√2=√(9/2)-√2。

根据根式的减法法则，将两个根式化为同类根式，然后进行减法运算。

答案：√5-√2=√(9/2)-√2=9/2-√2。

习题：已知√7+√2=5，求√7-√2的值。

将已知等式两边平方，得到(√7+√2)^2=25。

根据完全平方公式展开，得到7+2√14+2=25。

化简得到2√14=16。

再将2√14除以2，得到√14=16/2。

将√7-√2表示为已知根式的差，即√7-√2=√(16/2)-√2。

根据根式的减法法则，将两个根式化为同类根式，然后进行减法运算。

答案：√7-√2=√(16/2)-√2=16/2-

其他相关知识及习题：

习题：已知一个正方形的边长为a，求其对角线的长度。

根据正方形的性质，对角线将正方形分为两个等腰直角三角形。

利用勾股定理，对角线的长度等于边长的√2倍。

将对角线的长度表示为a√2。

答案：正方形的对角线长度为a√