《高等数学》上册课件全集第1章极限与连续.pptxVIP

第1章极限与连续本章将学习函数极限和连续的概念、性质及其计算方法。了解极限的定义和重要性,并掌握计算极限的技巧。同时还将介绍连续函数的定义和性质,以及间断点的分类。这些基础知识对后续微积分的学习至关重要。ppbypptppt

1.1函数的极限1函数极限的定义理解极限的概念和数学语言描述。2极限的性质掌握极限的基本运算性质。3极限的计算方法学习各类型函数极限的求解技巧。函数极限的概念是微积分的基础。通过学习函数极限的定义、性质及计算方法,为后续学习微分和积分奠定坚实的数学基础。同时,理解函数极限对于分析函数的性质和行为也很重要。

函数极限的定义直观理解函数在某点附近的值如何无限接近于某个常数称为这个函数在该点的极限。数学描述如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ使得当|x-a|δ时,|f(x)-L|ε,则称函数f(x)在点a处的极限为L。应用意义函数极限概念为后续微积分的学习打下了基础,是理解函数性质和变化规律的重要工具。

极限的性质加法与减法如果limf(x)=A和limg(x)=B，则lim[f(x)±g(x)]=A±B。乘法如果limf(x)=A和limg(x)=B，则lim[f(x)·g(x)]=A·B。除法如果limf(x)=A≠0和limg(x)=B≠0，则lim[f(x)/g(x)]=A/B。常数倍如果limf(x)=A，则lim[kf(x)]=kA，其中k为任意常数。

极限的计算方法1代入法当函数表达式看起来简单时,可以直接代入x=a计算极限。2因式分解法将分子分母同时因式分解,并利用因式的性质化简计算。3替换法对复杂的表达式进行巧妙替换,转化为更简单的极限形式。4洛必达法则若形式为0/0或∞/∞,可以使用导数比值求极限。

无穷小和无穷大无穷小无穷小是一种极其接近于0的数量,虽然具体数值很小,但不等于0。它们在函数极限分析中扮演着关键角色。无穷大无穷大描述一个数值增长到超出常规数字范围的状态。它在极限分析中表示函数值无限增大或减小的情况。关系和应用无穷小和无穷大的概念及其相互关系,是理解函数极限、连续性和微积分原理的基础。掌握这些概念对后续学习至关重要。

1.2函数的连续1连续函数的定义若函数f(x)在点a处的极限等于f(a)，则称f(x)在点a处连续。连续函数描述的是函数在某点附近变化平稳、没有突然跳跃的性质。2连续函数的性质连续函数具有良好的代数运算性质,可以进行加减乘除等运算。它们在闭区间上具有最大值和最小值。3间断点的分类间断点是指函数在某点不连续的点。间断点可分为可去间断点、jump间断点和无穷间断点。理解这些类型有助于分析函数的性质。

连续函数的定义定义若函数f(x)在点a处的极限等于f(a)，则称f(x)在点a处连续。性质连续函数描述函数在某点附近变化平稳、没有突然跳跃的性质。应用连续函数的概念是微积分学习的基础,对理解函数性质和变化规律很重要。

连续函数的性质代数运算性质连续函数可以进行加减乘除等基本的代数运算,运算结果仍然是连续函数。这为后续的微积分学习奠定了基础。最值存在性在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值。这是连续函数在研究函数性质时的重要性质。积分性质连续函数具有良好的积分性质,可以使用基本初等函数进行积分运算。这为后续学习定积分打下了基础。

间断点的分类可去间断点函数在某点处有定义,但极限不存在,可通过对函数进行适当的修改而使其在该点处连续。跳跃间断点函数在某点处发生跳跃,左右极限存在但不相等,这类点称为跳跃间断点。无穷间断点函数在某点处extreme值为正无穷或负无穷,左右极限不存在,这类点称为无穷间断点。分类意义理解不同类型的间断点有助于分析函数的性质和走势,为后续微积分学习奠定基础。

连续函数的运算加法运算连续函数可以进行加法运算,运算结果仍然是连续函数。这为微积分的学习奠定了基础。乘法运算连续函数可以进行乘法运算,运算结果仍然是连续函数。这展现了连续函数的良好代数性质。积分运算连续函数可以进行积分运算,从而获得更多的函数性质信息。这为后续学习定积分奠定了基础。

极限存在的必要条件1夹逼定理若函数有上下界,则极限存在。2单调有界准则若函数单调且有界,则极限存在。3柯西收敛准则若函数列满足柯西收敛条件,则极限存在。确定函数极限是否存在的必要条件包括:夹逼定理、单调有界准则和柯西收敛准则。这些定理为判断极限存在与否提供了严格的数学依据,是高等数学极限理论的重要组成部分。掌握这些定理有助于分析函数极限的性质。

夹逼定理夹逼定理若函数f(x)在点a附近满足不等式c≤f(x)≤d,且c和d在点a处极限存在且相等,则f(x)在点a处也存在极限,且极限等于c和d的共同极限。极限存在的必要条件夹逼定理为判断函数