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10.2二元一次方程组

二元一次方程组

把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程组的解

二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解的讨论

已知二元一次方程组a

1、若a1

2、若a1

3、若a1

整体思想的应用

已知二元一次方程组a

①式+②式=a

①式-②式=a

题型1：二元一次方程组的定义

1．在方程组：①3x+2y=7xy=5，②2x+y=7x+z=2，③3x+4y=2x3-y2=1，

【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可．

【解答】解：方程组：③3x+4y=2x

故答案为：③．

【变式1-1】（1）若（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的值是﹣3；

（2）若方程组y-(a-1)x=5，y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则

【分析】（1）（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则x和y的系数都不为0，且指数都为1；

（2）单项式（b﹣5）xy的次数是2，则要使原方程组是关于x，y的二元一次方程组，xy项的系数为0．

【解答】解：（1）由二元一次方程定义，得

a﹣3≠0①，且|a|﹣2＝1②，

由①，得a≠3，

由②，得a＝±3，

综上，a＝﹣3．

故答案为：﹣3；

（2）由二元一次方程组的定义，得

a﹣1≠0①，b﹣5＝0②，|a|＝1③，

由①，得a≠1．

由②，得b＝5．

由③，得a＝±1．

综上，a＝﹣1，b＝5，

所以ab＝（﹣1）5＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【变式1-2】若2x+y3=x+3y5=1，将原方程组化为a

【分析】把原式化为：2x+y3=1和x+3y

【解答】解：原式可化为：2x+y3=1和x+3y

整理得，2x+y=3x+3y=5

题型2：二元一次方程组的解

2.已知关于x，y的方程组ax+by=32ax-by=1的解是x=1y=-1，则a+2b的值为﹣2

【分析】把x=1y=-1代入方程组，得出关于a、b

【解答】解：把x=1y=-1代入ax+by=3

a-

②﹣①得：a+2b＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【变式2-1】已知方程组2x+y=14x+2y=10的解为x=my=n，则m+n的值为8

【分析】把x=my=n，代入2x+y=14

【解答】解：把x=my=n代入2x+y=14

得：2m+n=14①

①+②得：3m+3n＝24，

∴m+n＝8，

故答案为：8．

【变式2-2】已知方程组3x+y=2x-y=6的解满足方程x+y＝k，则k＝﹣2

【分析】原方程组两个方程左右两边相减即可得解．

【解答】解：原方程组为：3x+y=2①

①﹣②可得：

2x+2y＝﹣4，

∴x+y＝﹣2，即k＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【变式2-3】若二元一次方程组x-3y=k+2x+y=4的解满足x＝y，则k＝﹣

【分析】将x＝y代入该二元一次方程组，再解关于y和k的二元一次方程组即可．

【解答】解：将x＝y代入该二元一次方程组得：y-

解得：k=-

故答案为：﹣6．

题型3：根据实际问题列二元一次方程组

3.一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组5x+3=y6(x-2)=y．

【分析】根据“每一间客房住5人，那么有3人无房可住；每一间客房住6人，那么就空出2间客房”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：∵每一间客房住5人，那么有3人无房可住，

∴5x+3＝y；

∵每一间客房住6人，那么就空出2间客房，

∴6（x﹣2）＝y．

∴根据题意可列出方程组5x+3=y6(x-2)=y

故答案为：5x+3=y6(x-2)=y

【变式3-1】《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，根据题意，可列方程组为5x+6y=193x=4y

【分析】根据“5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：∵5只雀、6只燕共重19两，

∴5x+6y＝19；

∵3只雀与4只燕一样重，

∴3x＝4y．

∴所列方程组为5x+6y=193x=4y

故答案为：5x+6y=193x=4y

【变式3-2】《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数