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二次型与对称矩阵A有一、一对应的关系．
f(x,,x)A
1n
f(x,,x)XTAX
1n
对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.
2022-3-311
例１写出二次型f的矩阵
fx22x23x24xx6xx
1231223
解
12
A223.
33
33
2022-3-312
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求
可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设x1c11y1c12y2c1nyn,
x2c21y1c22y2c2nyn,
xcycycy
nn11n22nnn
记C(cij),则上述可逆线性变换可记作
xCy
2022-3-313
将xCy,(C可逆)代入fxTAx,有
fxTAxyT(CTAC)y.
1.二次型经可逆变换xCy后,其秩不变,但f
的矩阵由A变为BCTAC;
2.A,B为两个n阶方阵，若存在可逆阵C,满足：
CTACB,则称A与B合同.
2022-3-314
3.要使二次型f经可逆变换xCy变成标准形,
就是要使
yTCTACyk1y2k2y2kny2
12n
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