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第2讲圆与方程

【2019年高考会这样考】

1.考查圆的标准方程、一般方程及其应用

2.考查两圆的公共弦及与圆有关的交汇性问题等

抓住3个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

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01抓住3个考点

必考必记夯基固本

考点梳理

圆的标准方程

(1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径

(2圆的标准方程

①方程(x-a)2+(-b)2=r2(r0表示圆心为a,b,半

径为r的圆的标准方程

②特别地,以原点为圆心,半径为r(r0)的圆的标准方程

为x2+y2=P2

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2.圆的一般方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为x+

+ly+k+E-4F

故有:

(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以

以(2,-

D2+E2-4F

为圆心,以2为半径的圆;

(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点

(3)当D2+E2-4F0时,方程不表示任何图形

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3.点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种

圆的标准方程x-a)2+(-b)2=p2,点M(x,y

(1)点在圆上:(x0-a)2+(=b)2=P2;

(2)点在圆外:(x1-a)2+(=b)2x2;

(3)点在圆内:(x0-a)2+(=b)22

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【助学·微博】

种方法

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:

(1)根据题意,选择标准方程或一般方程

(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;

(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程

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两点提醒

(1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆

的方程都要列出关于系数的三个独立方程

(2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求

出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况

三个常用性质

确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上

(2)圆心在任一弦的中垂线上;

(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线

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考点自测

1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是

A.(2,3)

B.(-2,3

C.(-2,-3)

解析圆方程可化为:(x-2)2+(y+3)2=13,故圆心为

(2,-3)

答案D

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2.(2019·大连模拟)圆心在y轴上,半径为1,且过点

(1,2)的圆的方程为

A.(x2+4y-22=1

B.x2+(y+2)=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1

D.x2+(y-3)2=1

解析设圆心坐标为(0,b),则由题意知

(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,故圆的方程为x2

+(y-2)2=

答案A

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3.(2019万盛模拟若a-2,0,1,4,则方程x2+y2

+ax+2ay+2an2+a-1=0表示的圆的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析要使方程x2+y2+ax+2y+2a2+a-1=0表示

圆,则应有:a2+(2a2-4(2a2+a-1)0,即3a2+4a

2

40,解得-22,∴符合条件的a只有一个,a

=0,∴原方程只能表示一个圆.

答案B

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4.过点A(1,一1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的

圆的方程是

A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4

解析由题意得,AB的中垂线方程为y=x,

由

得

x+y-2=0

∴圆心C的坐标为(1,1),r2=CP=(1-1)2+(1+1)2=4,

∴圆的方程为x-1)2+(y-1)2=4

答案C

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