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《一元二次方程根的判别式的应用》阶段专项练习

类型1：判断方程根的情况

【典例1】不解方程，判定方程根的情况：

（1）

（2）

【变式1】（2020·新疆建设兵团中考）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.

B.

C.

D.

【变式2】（2021·西安模拟）下列选项中，能使关于x的一元二次方程（a，c为常数，且a≠0）一定有实数根的是（）

A.a0

B.a0

C.c0

D.c=0

【变式3】（2020·滨州中考）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根

B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法判定

【变式4】（2020·孝感中考）已知关于x的一元二次方程.

（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根，满足，求k的值.

类型2：由方程根的情况确定字母的值

【典例2】（2020·黄石中考）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两根为，且满足，求m的值.

【变式1】（2020·铜仁中考）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值等于（）

A.7

B.7或6

C.6或-7

D.6

【变式2】（2021·广州模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.1或2

【变式3】已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，

（1）求m的取值范围.

（2）若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值.

类型3：一元二次方程根的判别式的实际应用

【典例3】将一条长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于26，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于17吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

【变式1】某校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环（即每两人之间只比赛一次），每局比赛胜者得2分，负者得0分；如果下成平局，则各得1分.试问：所有参赛选手的得分总和能否为240分？如果能，参赛人数有多少人？若不能，说明理由.

【变式2】（2021·泉州期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙.

（1）若要围成养鸡场的面积为160，则养鸡场的长和宽各为多少m？

（2）围成养鸡场的面积能否达到180？请说明理由.

答案解析

【典例1】【解析】（1）原方程化为.

这里a=16，b=8，c=3，，

∴方程没有实数根.

（2）原方程化为，

∴方程有两个相等的实数根.

【变式1】D

【变式2】D

【变式3】B

【变式4】【解析】

（1）△=，

∵无论k为何实数，

∴，

∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系得出

∵，

∴，

∴，

∴，

化简得，解得k=0或k=-2.

【典例2】【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，

∴△，且m≥0，解得m≥0.

（2）∵关于x的一元二次方程有两个实数根

∴，.

∴，即m+8-17=0，解得m=9.

【变式1】B

【变式2】C

【变式3】【解析】（1）根据题意得m≠0且△=，解得m≠0且m≠3.

（2），

所以.

因为此方程的两根均为正整数，

所以正整数m的值为1.

【典例3】【解析】（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（6-x）cm，依题意列方程得，

整理得，解得，

；

∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、20cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于17.

理由：由（1）可知若，化简后得，

∵△=，

∴方程无实数解；

所以两个正方形的面积之和不可能等于17.

【变式1】【解析】能，理由如下：设参赛人数是x人，则，

解得（舍去），

答：所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人.

【变式2】【解析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米.

根据题意，得（34+2-2x）x=160，

整理得，

解得，

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意，

答：养鸡场的长为16米，宽为10米.

（2）围成养鸡场的面积不能达到180.理由如下：

设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米，

根据题意，得，

整理得，

△=.

∴方程无解.

答：围成养鸡场的面积不能达到180.