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高中数学函数的性质知识点整理

函数

、函数的单调性

1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；

当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x1，x2∈[a,b],x1≠x2.

(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0或f(x1)-f(

(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0或f(x1)-f(

2、常用结论

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.

(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反.

(3)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=1f(x)

(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.

(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.

（二）、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义：函数的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个都满足

高中数学函数的性质知识点整理全文共1页，当前为第1页。①函数为偶函数；

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②函数为奇函数.

2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于轴对称，该函数为偶函数.

3．函数奇偶性的性质

①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，，其中定义域是关于原点对称的非空数集.

②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递增（减）；

③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递减（增）；

④任意定义在上的函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即

（三）、函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）特别的

（2）关于轴对称;

（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.

本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.

3、中心对称的等价描述：

（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）;

（2）关于中心对称;

（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。

（4）若函数对定义域内任意都有f(a+x)+f(b-x)=c则函数的对称轴中心为

（5）函数关于对称.

①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：

若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有;

②本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。

4、常用函数的对称性

（1）函数图像关于点中心对称。

（2）函数是奇函数关于原点中心对称。

（3）函数图像关于点中心对称，关于中心对称（其他含有相同指数式的分式函数可以通过这两个结论根据函数的平移伸缩变换得来）

（4）三次函数图像关于点（即二阶导数为零的点）对称。

（三）、函数的周期性

1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期

高中数学函数的性质知识点整理全文共2页，当前为第2页。2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等

高中数学函数的性质知识点整理全文共2页，当前为第2页。

3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期

4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数

5、函数周期性的判定：

（1）：可得为周期函数，其周期;

（2）的周期;

分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：;

所以有：，即周期;

（3）的周期;

（4）（为常数）的周期;

（5）（为常数）的周期;

（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假