在运用基本不等式求最值时务必注意三点一正、二定、三相.pdfVIP

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在运用基本不等式求最值时务必注意三点：一正、二定、三相等。具体地说，

首先要求字母或代数式的取值为正，其次是欲求和的最小值必须凑出积的定值，

欲求积的最大值必须凑出和的定值，再其次就是当式子取到最值时，不等式中的

等号确能成立。基于这三方面的原因，在运用基本不等式求最值之前，一般要对

题设式子进行变形。在变形中，常常需要用到一些技巧，这就是本文所要说明的

问题。

一、不满足“一正”条件类问题的处理

例1.当时，求的最大值。

解：，故当且仅当，即

时，所求的最大值为－2。

例2.当的最小值。

分析：由于一正一负，故不可用极值定理，用函数单调性来处理。

解：设，

则

因，从而f(x)为增函数，

故所求的最小值为0。

二、不满足“二定”条件类问题的处理

1.求和的最值，积不为定值

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例3.已知的最大值。

分析：要积为定值，必须要去掉分母中的，故须拆整式中的。

解：

故所求的最大值为3。

例4.已知的最小值。

分析：转化成积为定值再用定理。

解：，故最小值为4。

例5.已知。

分析：合理变形，挖掘定值关系

解：

，

当且仅当时取到最小值。

2.求积的最值，和不为定值

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例6.已知，求的最大值。

分析：因和的定值关系为一次式，故设法化积的关系为几个一次式的积。

，

故最大值为。

三、不满足“三相等”条件类问题的处理

例7.求的最小值。

分析：若用极值定理，因当且仅当即时取到最小值，而

，取不到，故不可用极值定理。

解：令，

设

故函数f（x）为减函数。

故。

点拨：类最值问题，如不满足极值定理条件，常用函数单调性来处

理。

四、最值问题的其它处理方法

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例8.若求函数的最值。

分析1：转化为极值问题来处理。

解法1：（1）若，则

因时有，

（2）若，所以。

故原函数的最大值为，最小值为。