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高中数学线性回归方程;

1．与函数关系不同，相关关系是一种 的关系．

2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫，给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足;想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？

提示不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的．

2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？

提示不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．;名师点睛

1．相关关系与函数关系的异同点;2.回归直线方程

(1)回归直线方程的思想方法

①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线．

可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．

②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．;现在您浏览到是六页，共二十六页。;题型一相关关系的判断

【例1】下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号)

[思路探索]函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相关关系是非确定性关系．

解析选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表达式：f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系，对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人．

答案④;规律方法(1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数关系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可能无相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．

(2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是“随机性”．;【变式1】下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．

①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．

解析正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sinα；单产为常数a公斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.

答案④;题型二线性回归方程的求法

【例2】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：

若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋a.

[思路探索]本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散点图进行判断，可直接用公式求解．;解制表．;内容总结;现在您浏览到是十三页，共二十六页。;【变式2】某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)，对应数据如下：

求y对x的回归直线方程．;现在您浏览到是十五页，共二十六页。;题型三利用回归直线对总体进行估计

【例3】(14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线性回归方程；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5);现在您浏览到是十七页，共二十六页。;现在您浏览到是十八页，共二十六页。;现在您浏览到是十九页，共二十六页。;【题后反思】解决此类问题首先根据所给数据画出散点图，根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两个变量之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显著，即使求得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的结果也是不可信的．;【变式3】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋的面积x的数据：

(1)画出数据对应的散点图；

(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

(3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150m2时的销售价格．;现在您浏览到是二十二页，共二十六页。;误区警示最小二乘法的原理不清而出错

【示例】已知x、y之间的一组数据如下表：;现在您浏览到是二十四页，共二十六页。;现