经济数学(极限与连续习题及答案).docVIP

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第二章函数的极限与连续

习题2－1

?

1.写出下面数列的前5项，并观察当n—∞时，哪些数列有极限，极限为多少?哪些数列没有极限.

解（1）有极限,极限为1.

(2)没有极限.

(3)有极限,极限为1.

(4)－1,2,－3,4,－5没有极限.

(5),有极限,极限为0.

(6)0,1,0,1,0没有极限.

2.用极限的定义证明：

(1)若k0，则

解(1)因为对任给的ε0，要使不等式

所以对任给的ε0,取正整数N=,则当nN时,就

恒有

故由数列极限的定义知,.

(2)因为对任给的ε0,不妨设，要使不等式

所以对任给的ε0,取正整数N=,则当nN时,就

恒有

故由数列极限的定义知,.

3.设如果要使xn与其极限之差的绝对值小于0.0001,问n应满足什么条件?

解因为要使

所以n4.

4.设数列｛xn｝有界，且

证因为数列｛xn｝有界,所以存在正整数M0,使得M,又因为,则对任给的0,存在正整数N,使得当nN时,就恒有

所以对任给的ε0,存在正整数N,使得当nN时,就恒有

故由数列极限的定义知,

5.设数列｛xn｝收敛,求证数列｛xn｝必定有界.

解由数列｛xn｝收敛,设.

因为对于任意ε0,存在正整数N,使得当nN时的一切xn,就

恒有

即

所以对任给的ε0,取正数

当nN时,就恒有

故数列｛xn｝必定有界.

习题2－2

?

1.用极限的定义证明：

解(1)因为对任给的ε0,要使不等式

|(3x–1)–8|=|3(x–3)|ε

只要取正数δ=就可以了.

所以对任给的ε0,取正数δ=,使得当0|x–3|δ时,就恒有

|(3x–1)–8|ε

故由极限定义知.

(2)因为对任给的ε0,要使不等式

只要取正数δ=ε就可以了.

所以对任给的ε0,取正数δ=ε,使得当0|x+2|δ时,就恒有

故由极限定义知.

(3)因为对任给的ε0,要使不等式

,

则|x|,只要取正数M=就可以了.

所以对任给的ε0,取正数M=,使得当|x|M时,就恒有

故由极限定义知.

(4)因为对任给的ε0(不妨设0ε1),要使不等式

就可以了.

所以对任给的ε0,取正数,使得当x-M时,就恒有

故由极限定义知.

2*.当x-2时，x24.问δ等于多少，在0|x+2|δ时,有|x2-4|0.003?

解因为当x-2时，x-2-4,取=0.003,要使不等式

|x2-4|=|x+2||x–2|

设,即有-3x-1,-5x-2-3

所以当5时，取=0.0006,有

.

3*.当x—∞时，.问M等于多少时，在|x|M时,有?

解因为当x—∞时，要使不等式

即M=102.

4.设函数,讨论当x—0时，f(x)的极限是否存在.

解

5.证明函数f(x)=x|x|,当x0时极限为零.

6*.利用定义证明：.

证因为当a1时，对任意ε0，不妨设01,要使

所以对于01，就恒有

即.

又因为当0a1时，令时，由上述可得

于是

故由极限定义知.

7.设函数,问当k取何值时，函数f(x)在x—2时的极限存在.

解

故

8.求当x—0时的左、右极限，并说明它们在

x—0时的极限是否存在.

解

习题2－3

?

1.??????求下列极限：

解

2.求下列数极限：

?

2.??????设,求常数a,b的值.

解

3.??????若常数k使存在,试求出常数k与极限值.

解

5.求下列函数的极限：

解当时,,则

6.求下列曲线的渐近线：

解

7.已知

解

习题2－4

?

1.????利用极限存在准则，计算下列各题:

解

2.求下列极限：