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不精确Newton-GMRES方法的全局算法的开题报告

1.研究问题的背景和意义

牛顿法是求解非线性方程组的一种非常有效的方法，因其具有二阶收敛性质和局部收敛性而备受青睐。而当方程组的条件数比较大时，牛顿法的迭代矩阵会非常病态，导致收敛变慢甚至失效。为了解决这个问题，研究者们提出了许多改进的牛顿法，包括不精确牛顿法、全局不收敛的牛顿法等。

其中，不精确牛顿法是一种利用近似的Jacobi矩阵或Hessian矩阵来代替精确的Jacobi矩阵或Hessian矩阵的牛顿法，可以在牛顿法收敛速度较慢的情况下改善迭代效率。然而，不精确牛顿法也存在一些问题，比如可能产生震荡、松弛、步长搏动等现象，因此有必要进一步研究改进算法。

在这个背景下，本文将探讨一种全局不收敛但稳定的不精确牛顿法：不精确Newton-GMRES方法。该方法通过使用GMRES解线性方程组来代替精确求解，同时通过引入超松弛参数来调整步长，可以提高收敛速度和稳定性。

2.研究内容和方法

本文将从以下几个方面对不精确Newton-GMRES方法进行研究：

（1）不精确Newton-GMRES迭代算法的数学基础和理论收敛性分析；

（2）不精确Newton-GMRES迭代算法的算法流程和实现细节；

（3）不精确Newton-GMRES方法与其他不精确牛顿法的比较和实验分析，包括收敛速度、精度、稳定性等方面的对比；

（4）应用不精确Newton-GMRES方法求解实际问题的应用案例，比如非线性方程组、非线性最小二乘问题等。

本文将采用文献阅读、理论研究、程序编写等方法，探讨不精确Newton-GMRES方法的各种细节问题，并通过实验分析来验证算法的有效性。

3.预期研究成果及意义

本文的预期研究成果包括：

（1）不精确Newton-GMRES迭代算法的理论分析和证明，包括算法的收敛性、稳定性和收敛速度等方面的分析；

（2）不精确Newton-GMRES迭代算法的实现，包括算法的流程设计、程序编写等方面的介绍；

（3）多种不精确牛顿法的对比实验和分析，证明不精确Newton-GMRES方法的优势；

（4）应用不精确Newton-GMRES方法求解实际问题的案例分析，展示算法在解决实际问题中的优越性。

本文的意义在于推广和应用不精确Newton-GMRES方法，解决实际问题中存在的非线性方程组、非线性最小二乘问题等，并为进一步研究不精确牛顿法提供参考。