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▆《近世代数》试卷共2页（第2页）选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！▆
▆《近世代数》试卷共1页（第PAGE1页）选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！▆
《近世代数》期末考试A卷
姓名：专业：
学号：学习中心：
成绩：
判断题(共20分，5个小题，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
得分
答案
×
√
×
√
×
对称群中置换（1345）是偶置换（）
群中指数为2的子群一定是正规子群（）
已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则定能整除（）
设是有单位元的交换环，是的极大理想，则是域
（）
环中极大理想的和还是极大理想（）
二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）
题号
1
2
3
4
得分
1.设是整数集，规定，证明：关于所定义的
运算构成交换群
证明：首先该代数运算封闭
其次我们有：（a?b）?c＝（a＋b－3）?c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a?（b?c），结合律成立
令e＝3，验证a?e＝a＋e－3＝a，有单位元
对任意元素a，6－a是其逆元，因为a?（6－a）＝3
因此，Z对该运算作成一个交换群。
2.设是交换群.证明:中所有阶数有限的元素的集合按的运算
构成的正规子群
要证明集合H按照G的运算构成G的正规子群，我们需要证明以下三个条件：
1.H是G的子群：即证明H是G的非空子集、对于G的运算封闭，且对于逆元和单位元封闭。
2.H在G的运算下封闭：即对于任意h1,h2∈H，有h1h2∈H。
3.H对于G的运算的共轭封闭：即对于任意h∈H和g∈G，有ghg^(-1)∈H。
首先，我们证明H是G的子群。
由于H是由G中所有阶数有限的元素组成的集合，所以H是G的一个非空子集。
接下来，我们证明H对于G的运算封闭。
对于任意h1,h2∈H，它们的阶数分别为n1和n2（n1、n2有限）。
我们知道，对于任意元素g∈G，其阶数也是有限的。
因此，(h1h2)^k=h1^k*h2^k=e*e=e，其中k=lcm(n1,n2)。
这说明h1h2的阶数也是有限的，即h1h2∈H。
最后，我们证明H对于G的运算的共轭封闭。
对于任意h∈H和g∈G，我们有ghg^(-1)∈H。
由于g和h的阶数有限，所以ghg^(-1)的阶数也是有限的，即ghg^(-1)∈H。
综上所述，H是G的子群，并且对于G的运算封闭和共轭封闭。因此，H按照G的运算构成G的正规子群。
3.有一队士兵,三三数余1,五五数余3,七七数余2.问:这队士兵有多少人?试求最小正整数解.(要写出解题过程)
根据题意，设这支队伍有n个士兵，则可以列出以下模线性方程组：
n≡1(mod3)
n≡3(mod5)
n≡2(mod7)
我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，设N=3*5*7=105，然后分别计算m1,m2,m3和它们的逆元t1,t2,t3：
m1=N/3=35，t1≡2(mod3)，即t1=2
m2=N/5=21，t2≡1(mod5)，即t2=1
m3=N/7=15，t3≡4(mod7)，即t3=4
将以上数据代入中国剩余定理的公式：
x≡a1m1t1+a2m2t2+a3m3t3(modN)
得到：
n≡1*35*2+3*21*1+2*15*4≡23(m
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