初中数学概率知识点总结.pptx

初中数学概率知识点总结

概率基本概念

古典概型

几何概型

条件概率与独立性

随机变量及其分布

数学期望与方差

目录

CONTENTS

概率基本概念

概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，一般用P表示。对于随机事件A，其概率P(A)是一个介于0和1之间的实数。

概率定义

对于任何随机事件A，都有P(A)≥0。

非负性

对于必然事件S，有P(S)=1。

规范性

对于互斥事件A和B（即A和B不可能同时发生），有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

可加性

在相同条件下进行n次试验，事件A发生的次数m与总次数n的比值称为事件A发生的频率，记作f(A)=m/n。

频率定义

当试验次数n足够大时，频率f(A)会稳定在某个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P(A)。因此，可以通过大量重复试验得到的频率来近似估计概率。

频率与概率关系

古典概型

等可能事件定义

在一定条件下，某一事件A包含的基本事件个数是有限的，且每个基本事件发生的可能性是相等的，则称事件A为等可能事件。

等可能事件概率计算公式

$P(A)=frac{m}{n}$，其中m是事件A包含的基本事件个数，n是全部可能的基本事件个数。

概率的性质

$0leqP(A)leq1$，且所有基本事件的概率之和等于1。

排列的定义

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。

排列数$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，组合数$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$。

通过计算基本事件的个数，进而计算等可能事件的概率。

组合的定义

排列数和组合数的计算公式

排列组合在古典概型中的应用

抛硬币问题

硬币正面和反面朝上的概率均为$frac{1}{2}$。

骰子每个面朝上的概率均为$frac{1}{6}$。

从装有n个不同颜色或不同标号的球的袋子中随机摸取一个球，每个球被摸到的概率均为$frac{1}{n}$。

在一年365天中随机选择一天作为生日，两个人生日相同的概率计算。

从n个签中随机抽取一个签，每个签被抽中的概率均为$frac{1}{n}$。

掷骰子问题

生日问题

抽签问题

摸球问题

几何概型

在一条线段上随机取点，某事件发生的概率与线段长度的比例有关。

长度比例

在平面区域内随机取点，某事件发生的概率与区域面积的比例有关。

面积比例

在三维空间内随机取点，某事件发生的概率与空间体积的比例有关。

体积比例

1

2

3

在几何图形中，若每个基本事件发生的可能性相同，则称为等可能事件。

等可能事件

在几何图形中，随机事件发生的概率等于该事件对应的基本事件数占总基本事件数的比例。

随机事件的概率

P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/试验的全部区域长度(面积或体积)。

几何概型的概率公式

古典概型

古典概型是一种特殊的等可能概型，其基本事件是有限的，且每个基本事件发生的可能性相同。

几何概型

几何概型是一种更一般的等可能概型，其基本事件可以是无限的，且每个基本事件发生的可能性相同。

区别与联系

古典概型和几何概型的区别在于基本事件的有限性和无限性。古典概型适用于有限个等可能结果的情况，而几何概型适用于无限个等可能结果的情况。两者之间的联系在于它们都是等可能概型，且都可以通过比例来求解概率。

条件概率与独立性

在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A)。

P(B|A)=P(AB)/P(A)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

条件概率计算公式

条件概率定义

定义法

如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。

公式法

如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

01

02

如果事件A1，A2，...，An相互独立，则它们同时发生的概率为P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An)。

对于相互独立的事件A和事件B，它们同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B)。

随机变量及其分布

随机变量是描述随机试验结果的变量，常用大写字母表示。

随机变量定义

根据取值的不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。

随机变量分类

分布函数定义

描述连续型随机变量取值概率的函数，常用F(x)表示。

数学期望与方差

数学期望性质

常数的数学期望等于该常数本身。

随机变量的线性变换的数学期望等于该随机变量数学期望的线性变换。

随机变量和的期望等于各随机变量期望的和。

数学期望定义：数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，反映随机