(完整word版)数值分析第二版(朱晓临)期末真题汇总.doc

第一章

有效数字，相对误差限

1、要使的近似值的相对误差的绝对值不超过，求至少应具有几位有效数字？

解

设至少应具有位有效数字.因为,所以的第一个非零数字是4，即的第一位有效数字，根据题意及定理1.2.1知，

，

解得.故取，即至少应具有5位有效数字。

第二章

范数，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法（G-S迭代），收敛，迭代矩阵，迭代步数

一、；；

；

；

列和；行和；

，其中，为的特征值，

矩阵的条件数，谱条件数：

二、Jacobi迭代：；

；Gauss-Seidel迭代：

；超松弛迭代

1、，则12，39.

2、设，，则，2+5+7+3，36.

3、(1)对下列方程组建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。

(2)要达到精度，试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭代步数；取初值.(注：向量范数都用范数)

解

(1)调整上述方程组的次序，得

(*)

据此建立Gauss–Seidel迭代公式（把等号右边的k+1换成k就是Jacobi迭代格式）

因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Gauss–Seidel迭代公式所产生的序列都收敛。

(2)因为方程组(*)的系数矩阵

，

所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为BG

.

用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得：

，

故需要迭代49次。

4、已知线性方程组

(1)分别写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式的迭代矩阵和.

(2)计算范数和，判断求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式是否收敛？

(3)若都收敛，哪个迭代格式收敛速度更快？

解

(1)因为原方程组的系数矩阵

，

所以

，（D-1对角线上的元素正好是对应的原矩阵对角线上元素的倒数）

(2)因为，，所以解原方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式都收敛。

(3)因为，所以Gauss–Seidel迭代格式比Jacobi迭代格式收敛速度更快。

5、已知线性方程组

(1)写出求解上述方程组的Gauss–Seidel迭代格式。

(2)写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵。

(3)计算范数，判断上述Jacobi迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到精度，Jacobi迭代法所需的迭代步数；取初值.

解

(1)求解上述方程组的Gauss–Seidel迭代格式为

(2)因为原方程组的系数矩阵

，

所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为

.

(3)因为，所以解原方程组的Jacobi迭代格式收敛。

用Jacobi迭代法迭代一次得：，

故需要迭代98次。

6、若迭代函数在有限区上满足下列两个条件:

eq\o\ac(○,1)对任意的，有；

eq\o\ac(○,2)在上存在，且。

试证明：

(1)对任意初值，由迭代格式产生的序列收敛到方程的根；

(2)估计式成立。

(3)函数在区间上存在唯一不动点；

证

(1)因为是方程的根，所以.由条件(1)知，.由微分中值定理及条件得：

因为，所以当时，对任意初值，序列收敛到.

(2)，解得.

(3)先证：不动点存在性.记,由条件有

及.若有上述2个不等式有一个等号成立，则或,即有不动点;否则必有.

因为在上连续，所以由零点定理知，必有,使,即,这说明是的不动点.

后证：的唯一性.设都是的不动点，，且，则由Lagrange中值定理，得

,矛盾!这表明，即不动点是唯一的.

第三章

改进的Newton迭代法，二分法，迭代法求方程，Newton迭代法，二重根，弦截法

1、(1)设是方程的3重实根，则求的改进的Newton迭代公式为。

(2)设是方程的2重实根，则求的改进的Newton迭代公式为

。（记得－9）

2、已知方程.

(1)取初值，用Newton迭代法求.

(2)取初值，用弦截法求.

解

(1)，，据此建立Newton迭代公式

取初值，则

(2)弦截法迭代公式为

取初值，代入上式计算得：

3、(1)设，是方程的单根。写出求的Newton迭代格式；并证明求的Newton迭代法至少是平方收敛的。

(2)取初值，用弦截法求方程在附近的实根.（只迭代两次）。

解

4、(1)设，是方