大学高等数学：第三章第二讲不定积分换元积分法.pdfVIP

⼤学⾼等数学：第三章第⼆讲不定积分换元积分法

回顾下上节课我们学习了不定积分的基本概念，基本积分表及基本性质

是利⽤基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分⾮常有限，因此有必要进⼀步来研究不定积分的求法，本节把复

合函数的微分法反过来⽤于求不定积分，利⽤中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元

法，换元法通常分为两类，下⾯先讲第⼀类换元法。

第⼀类换元法设f(u)具有原函数F(U),即

F(U)=f(u),∫f(u)du=F(U)+C

如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有

dF(φ(x))=f(φ(x))φ(x)dx

从⽽根据不定积分的定义就得

∫f[φ(x)]φ(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du](u=φ(x))

于是有下述定理

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du](u=φ(x))(1)

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，

实际上就是∫f[φ(x)]φ(x)dx不好求，⽽∫f(u)du好求，所以先求出后⼀个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这⼀

⽅法后，可以不必引⼊变量u.由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ(x)dx是⼀个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx

也可当作变量x的微分来对待，从⽽微分来对待，从⽽微分等式φ(x)dx=du可以⽅便地应⽤到被积表达式中来，我们在上

节第⼀题⽬中已经这样⽤了，那⾥把积分∫F(x)dx,记作∫dF(x),就是按微分F(x)dx=dF(x),把被积表达式F(x)dx.记作dF(x)

如何应⽤公式(1)来求不定积分？设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ(x)的形式，那么

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du](u=φ(x))

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数

⼏种常⽤的凑微分形式：

求下列不定积分

（1）∫secxdx(2)∫1/(sinx+tanx)dx(3)x^2/(x+2)^3dx

解(1)∫secdx=∫dx/cosx=∫cos/(1-sin^2x)dx=∫d(sinx)/(1-sin^2x)dx=1/2∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]d(sinx)

=1/2ln(1+sinx)/(1-sinx)+C=1/2ln(1+sinx)^2/(1-sin^2x)+C=lnlsecx+tanxl+C

解(2)∫1/(sinx+tanx)dx=∫cosx/sinx(1+cosx)dx=∫(cos^2x/2-sin^2x/2)/4sinx/2cos^3x/2dx=∫(1-

tan^2x/2)/2tanx/2d(tanx/2)=1/2∫(1/(tanx/2)-tanx/2)d(tanx/2)=1/2lnltanx/2l-1/4tan^2x/2+C

解(3)令u=x+2,则x=u-2,dx=du,于是

∫x^2/(x+2)^3dx=∫(u-2)^2/u^3du=∫(u^2-4u+4)u^(-3)du

=∫(u^(-1)-4u^(-2)+4u^(-3))du

=lnlul+4u^(-1)-2u^(-2)+C

=lnlx+2l+4/(x+2)-2/(x+2)^2+C

上⾯所举的列⼦，可以使我们认识到公式(1)在求不定积分中所起的作⽤，像复合函数的求导法则在微分学中⼀样，公式

(1)在积分学中也是经常使⽤的，但是利⽤公式(1)来求不定积分，⼀般却⽐利⽤符合函数的求导法则求函数的导数要来

的困难，因为其中需要⼀定的技巧，⽽且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有⼀般规律可循，因此需要掌握换元法，除

了熟悉⼀些典型的列⼦外，还要做较多的练习才⾏。

上述各列⽤的都是第⼀类换元法，即形如u=φ(x)的变量代换吗，下⾯介绍另⼀种形式的变量代换x=φ(t),即所谓第⼆类换

元法。

第⼆类换元法上⾯介绍的第⼀类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ(x)dx化为积分∫f(u)du。

下⾯将介绍的第⼆类换元法是，适当地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分∫f[φ(t)]φ(t)dt，这是