高中数学：1-1-2　空间向量的数量积运算.docx

立足一流追求卓越

株洲市石外高级中学数学部课时教案

主备罗海洋执教

科目

数学

年级

高二

课型

新授课

时间

主备教案

个性修改

教学内容

1.1.2空间向量的数量积运算

计划2课时

教学目标

1.通过平面向量的夹角,类比出空间向量的夹角；

2.通过平面向量的数量积，类比出空间向量的数量积；

3.将平面向量中投影向量的概念推广到空间向量中；

4.通过平面向量的数量积运算律，证明空间向量的数量积运算律；

5.空间向量数量积的应用.

教学重难点

教学重点：空间向量的数量积的有关概念及其应用。

教学难点：准确利用空间向量的数量积的计算公式解答空间几何体的有关问题。

教

学

过

程

一、自学解惑

◆知识点一空间向量的夹角

1.概念:如图1-1-8,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫作向量a,b的,记作.?

图1-1-8

2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是,其中当a,b=0时,a与b方向;当a,b=π时,a与b方向;当a,b=π2时,a与b.反之,若a∥b,则a,b=0或π;若a⊥b,则a,b=π

◆知识点二数量积的相关概念及性质

1.概念:已知两个非零向量a,b,则叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.?特别地,零向量与任意向量的数量积为0.

2.空间向量数量积的性质

(1)a⊥b?a·b=.?

(2)a2=a·a=|a||a|cosa,a=.?

(3)cosa,b=.?

3.投影向量的概念

作法

图形表示

符号表示

向量a在向量b上的投影向量

将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c

c=??

向量a在直线l上的投影向量

向量a在平面β上的投影向量

分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A,B,得到向量A

A

注:向量a,A

4.空间向量数量积的运算律

(1)(λa)·b=,λ∈R.?

(2)a·b=(交换律).?

(3)(a+b)·c=(分配律).?

二、探究展示

◆探究点一空间向量的数量积运算

例1如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:

(1)EF·BA;(2)EF·BD;(3)EF·DC;(4)AB·CD.

[素养小结]

(1)空间向量数量积运算的两种方法:

①已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.

②如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.

(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:

①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.

③代入a·b=|a||b|cosa,b求解.

◆探究点二利用向量的数量积解决夹角问题

例2如图1-1-10所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求BC1与

(2)求异面直线BC1与CA所成角的大小.

变式：(1)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是.?

(2)如图,在正四面体O-ABC中,E,F分别为AB,OC的中点,求向量OE与向量BF的夹角的余弦值.

[素养小结]

(1)求两个空间向量的夹角的两种方法:

①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围.

②先求a·b,再利用公式cosa,b=a·

(2)用向量法求两直线的夹角:

①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b;

②运算:求cosa,b=a·

③结论:设两直线的夹角为θ,则cosθ=|cosa,b|,进而得到θ.

三、拓展延伸

◆探究点三利用向量的数量积解决长度问题

例3平行六面体ABCD-ABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,∠BAD=90°,∠BAA=∠DAA=60°,则AC的长为 ()

A.10 B.85C.61 D.70

[素养小结]

求两点间的距离或线段的长度的步骤:

(1)将两点间的连线(或此线段)用向量表示;

(2)用其他