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等差数列

任意

1.设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列.

(1)求数列的通项公式(用表示)

(2)设为实数,对满足条件且的任意整数,不等式都成立.求证:的最大值为

2.数列，满足，，，．

〔1〕求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

〔2〕设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？假设存在，试用表示，；假设不存在，说明理由．

解:〔1〕因为，所以，

那么，

所以，

又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，

即，所以．

〔2〕由〔1〕知，所以，

①当时，，，，

假设，，成等差数列，那么〔〕，

因为，所以，，，，

所以〔〕不成立．

②当时，假设，，成等差数列，

那么，所以，

即，所以，

欲满足题设条件，只需，此时，

因为，所以，，

即．

综上所述，当时，不存在，满足题设条件；

当时，存在，，满足题设条件．

3.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

〔1〕求数列的通项公式及前项和；

〔2〕试求所有的正整数，使得为数列中的项。

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。总分值14分。

〔1〕设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式,前项和

(2)方法一:=,设，

那么=,所以为8的约数

〔方法二〕因为为数列中的项，

故为整数，又由〔1〕知：为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。

【例3】数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aeq\o\al(2,n)＝S2n－1，令bn＝eq\f(1,an·an＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn.

(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；

(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？假设存在，求出所有的m，n的值；假设不存在，请说明理由．

解(1)n＝1时，由aeq\o\al(2,1)＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，

Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d＝n＋eq\f(n?n－1?,2)d.

于是由aeq\o\al(2,n)＝S2n－1，得[1＋(n－1)d]2＝2n－1＋(2n－1)·(n－1)d，

即d2n2＋(2d－2d2)n＋d2－2d＋1＝2dn2＋(2－3d)n＋d－1，

所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d2＝2d，,2d－2d2＝2－3d，,d2－2d＋1＝d－1，))解得d＝2.

所以an＝2n－1，从而bn＝eq\f(1,an·an＋1)

＝eq\f(1,?2n－1?·?2n＋1?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).

(2)法一T1＝eq\f(1,3)，Tm＝eq\f(m,2m＋1)，Tn＝eq\f(n,2n＋1)，假设T1，Tm，Tn成等比数列，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2m＋1)))2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2n＋1)))，即eq\f(m2,4m2＋4m＋1)＝eq\f(n,6n＋3).由eq\f(m2,4m2＋4m＋1)＝eq\f(n,6n＋3)，可得eq\f(3,n)＝eq\f(－2m2＋4m＋1,m2)＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，∴1－eq\f(\r(6),2)＜m＜1＋eq\f(\r(6),2).

又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.

因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．

法二因为eq\f(n,6n＋3)＝eq\f(1,6＋\f(3,n))＜eq\f(1,6)，故eq\f(m2,4m2＋4m＋1)＜eq\f(1,6)，即2m2－4m－1＜0，

∴1－eq\f(\r(6),2)＜m＜1＋eq\f(\r(