上海市虹口区2023-2024学年高三下学期二模考试 数学 Word版含解析.docx

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试

高三数学试卷

2024.4

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.

一?填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知，则________；

2.已知球表面积为,则该球的体积为______.

3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________.

4.已知集合，则__________.

5.已知随机变量，且，则__________.

6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻站法种数为__________.

7.已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为__________.

8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.

9.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.

10.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________．

11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.

12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.

二?多选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（）

A.函数是偶函数

B.函数的图像关于直线对称

C.函数在上是严格增函数

D.函数在上值域为

15.给出下列4个命题：

①若事件和事件互斥，则；

②数据的第百分位数为10；

③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；

④随机变量的分布为，则其数学期望.

其中正确命题的序号为（）

A.①② B.①③ C.②③ D.②④

16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：

①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.

则下列判断正确的是（）

A.①②都是假命题 B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题

三?解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.

17.已知等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）设数列前项和为，且，若，求正整数最小值.

18.如图，在三棱柱中，，为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.

19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：

质量差（单位：）

54

57

60

63

66

件数（单位：件）

5

21

46

25

3

（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；

（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.

（i）求抽取零件为废品的概率；

（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量，则.

20.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；

（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.

21.若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.

（1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；

（2）设函数具有性质，求实数的取值范围；

（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.

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2024.4

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟，

2.本考试分设试卷和答