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最大熵谱
主要内容
1.基本概念
2.随机信号通过线性系统后熵率的变化
3.随机信号的谱熵
4.最大熵谱分析
1.基本概念
1.1熵的概念
在通信系统中，设传递N个信号，
它们的概率分别为，。在长的传输周期
内，产生了L个信息序列，所以信号
的出现，都可能得到所希望获得的某种信息。把
这些信息量记为，每个间隔的平
均信息量，即熵可以表示为：
它表示某个事件出现概率的函数。
如果对数以任意数a为底，上式可写成：
式中c为大于零的常数。它的物理意义是表示发生该事件
的不确定性。如果，此时，,即熵
为零，表示系统的不确定性为零，也就意味着事件肯定出
现。
1.2熵率的概念
对于离散型无限长随机序列或随机过程的熵率，
其联合概率为，由上式可知熵率或
极限熵的定义为：
2.随机信号通过线性系统后熵率的变化
设为平稳随机信号通过线性系统后的输出，
若的熵率为，的熵率为，则线性系
统输入与输出熵率的关系为
式中——随机信号的频带宽度，必须服从采
样定理=。
3.随机信号的谱熵
谱熵可定义为
上式表明谱熵是谱的不确定性的测度。由谱
熵定义可知，平稳随机过程的的熵率
谱熵具有下述关系
上式表明使熵率最大等价于使谱熵最大。
4.最大熵谱分析
4.1最大熵谱的含义
设自协方差函数已知，它和功率谱
之间是傅里叶变换对，于是
谱熵最大法是在上式n+1个自协方差函数的约
束下使得谱熵最大的功率谱为最大熵谱。
应用拉格朗日乘数法，构造函数
式中，为待定的拉格朗日乘数，将上
式对求导并令其为零，可得
整理可得
4.2最大熵谱与AR谱的一致性
从两方面来分析：
一、从模型直接计算自协方差函
数，因平稳随机过程具有外延性，可直
接按模型递推计算，得到
结合功率谱的计算公式，其结论与由最
大熵谱得到的功率谱结果是一致的。
二、从自协方差函数和格林函数的关
系分析可知，前者表示系统输出的数
据特性，后者表示输出的系统特性，
并定义格林函数的傅里叶变换为频率
特性函数，推导可得
上式是从系统输出的特性推导出来的，它与由最
大熵谱得到的功率谱也是完全一致的，只是符号
稍有不同。可见用最大熵谱作为优化准则估计出
来的功率谱密度可满足AR模型式。
谢谢大家
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