考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷59(题后含答案及解析).doc

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷59(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．求极限：

正确答案：根据海涅定理,涉及知识点：函数、极限、连续

2．已知，XA+2B=AB+2X，求X2017．

正确答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A－2E)=(A－2E)B，即X=(A－2E)B(A－2E)－1，则X2017=(A－2E)B2017(A－2E)－1=(A－2E)B(A－2E)－1=X．再从关于X的矩阵方程X(A－2E)=(A－2E)B用初等变换法求解X：((A－2E)T｜B(A－2E)T)=(AT－2E｜B(AT－2E))涉及知识点：矩阵

3．设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

正确答案：设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX(A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X[(A=aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1，设A、B的最小特征值分别为λ1和μ1，有s=≥λ1+μ1＞a+b．故A+B的特征值全大于a+b．涉及知识点：二次型

4．已知线性方程组的一个基础解系为(b11,b12,…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2…，bn,2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．

正确答案：设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B，则由(I)的基础解系可知ABT=O，于是BAT=(ABT)T=O，所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量．由于(b11,b12，…，b1,2n)T，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bb,2n)T为方程组(I)的基础解系，所以该向量组线性无关，故r(B)=n，从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n—n=n．又由于方程组(I)的未知数的个数为2n，基础解系解向量的个数为n，所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n，于是A的n个行向量的转置是线性无关的，从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系，于是方程组(Ⅱ)的通解为y=k1(a11，a12，…，a1,2n)T+k2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+kn(an1，an2，…，an,2n)T，其中k1，k2，…，kn为任意常数．

解析：本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和通解的结构以及方程组系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系．知识模块：线性方程组

5．设

正确答案：先求而且f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量；φ(xy)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量。由于方便，由复合函数求导法则得涉及知识点：多元函数微积分学

6．设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：∈(a，b)，使

正确答案：将f(x)在x=a，x=b展开泰勒公式．f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(x-a)2涉及知识点：一元函数微分学

7．设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

正确答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为因为P为正交矩阵，所以即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足｜λE一A｜=0．当λ1=0，则由式(1)和(2)，可求得α=β=0．

解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A，由标准形f=y22+2y32，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．知识模块：二次型

8．已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

正确答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9－a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1：得(A－E)X=0的同解方程组得属于1的一个特征向量η1=(0，1，－1)T，单位化得γ1=对于特征值2：得(A－2E)X=0的同解方