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带拉格朗日余项的泰勒公式

f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+

rac{f(x_0)(x-

x_0)^2}{2!}++

rac{f^{(n)}(x_0)(x-

x_0)^n}{n!}+p_n(x)

【p_n(x)就是我们的余项，显然它是一个从a(x-x_0)^{n+1}

开始的、有无穷多项的…多项式函数】

然后，对f(x)做n次求导：

(1)f(x)=0+f(x_0)+f(x_0)(x-

x_0)^1++

rac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n-

1}}{(n-1)!}+p_n^{}(x)

(2)f(x)=0+0+f^{(3)}(x_0)++

rac{f^{(n)

}(x_0)(x-x_0)^{(n-2)}}{(n-2)!}+p_n^{}(x)

(...)

(n)f^{(n)}(x)=0+0+0++f^{(n)}(x_0)+p_n^{(

n)}(x)

获得第n式，化简得：f^{(n)}(x)-

f^{(n)}(x_0)=p_n^{(n)}(x)

使用拉格朗日中值定理，把上式左边替换为：

xi)·(x-x_0)

得：xi)·(x-x_0)

看得出，这个式子形如y^{(n)}=k(x-x_0)，非常简单，只需

高中知识就能推出原函数

最后，就是不停地积分，直到回到p_n(x)

对xi)·(x-x_0)做n

次积分就得到xi)·(x-

x_0)^{n+1}}{(n+1)!}

大功告成！

补充：

还记得之前说过的吗：”p_n(x)是一个从a(x-

x_0)^{n+1}开始的多项式函数“

这说明：在n次求导过程中，p_n(x)的(x-x_0)

一直残留着，故p_n^{(n)}(x_0)总是为零，

也就是说，p_n(x)的导函数们起点全都是零，所以

积分的时候不必担心初始值的累积，干就完事儿！

补充2：

在原回答【泰勒公式的拉格朗日余项怎么理解？】中有同学指

出是一个和x有关的变量，积分时不能直接当作常量带

入，ta说的对，我正准备大改，却发现：

在“积分第一中值定理”的保障下，这个积分过程其

实是合理的，只是描述上不够严谨。

积分第一中值定理：

。

也就是说：每次积分都在变，但是只是从

f^{(n+1)}(x)的一个位置变到另一个位置而已，积

分n次依然逃不出f^{(n+1)}(x)的五指山。

所以积分过程中看起来像是一个常量一样。