高中数学：专题奔驰定理与四心问解析.docx

PAGE2

专题奔驰定理与四心问题

【考点预测】

一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二．奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知△ABC的顶点A(x1?，??y1)，

注意：（1）在△ABC中，若O为重心，则OA

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：AG=

奔驰定理：SA?OA+SB?OB

奔驰定理证明：如图，令λ1OA

S△AOBS△A1O

三．三角形四心与推论：

（1）O是△ABC的重心：S△

（2）O是△ABC的内心：S

（3）O是△ABC的外心：S△

（4）O是△ABC的垂心：S△

【方法技巧与总结】

（1）内心：三角形的内心在向量ABAB+

AB?PC+BC

（2）外心：PA=PB=PC

（3）垂心：PA?PB=PB

（4）重心：PA+PB+PC

【典例例题】

题型一：奔驰定理

例1．（2021·四川德阳·高一期末）已知P是△ABC内部一点，且PA?+3?PB+5PC=

A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1

【答案】B

【解析】

如图，根据平面向量的基本定理可得BD:CD=5:3，PD:AD=1:9，进而得出△PBC和△ABC的高之间的关系，则S△PBC=19

【详解】

设△ABC的面积为S，

由PA+3PB+5PC

有-1

又38+5

则B、C、

即点P在AD上，且BD:CD=5:3，

所以以BC为底，△PBC的高为△ABC的19

故S△PBC=19S

所以S△PAB:S

故选：B

练习．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为SA、SB、SC，则SA?OA+SB?OB+SC?OC=

A．O为△ABC

B．∠

C．OA

D．tan

【答案】ABD

【解析】

首先可根据OA?OB=OB?OC得出OB⊥CA，用相同的方式得出、OC⊥AB，即可得出A正确，然后作辅助线，根据∠BAO=90°-∠ABC、∠ABO=90°-∠BAC即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出OAsin∠ABO=OBsin∠BAO

【详解】

A项：OA?OB=

OB?OA-OC=0

同理可得，OC⊥AB

故O为△ABC的垂心，A

B：如图，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，延长CO交AB于点F，

因为，所以∠ADB=90°，

因为OB⊥CA，所以∠BEA=9

则∠

=∠BAC+∠

C项：在△AOB中，由正弦定理易知OA

因为∠BAO=90°

所以OAsin

即OAcos∠BAC

同理可得OBOC

故OA:OB:

D项：∠AOB=π-∠ACB，同理可得

则S

=1

同理可得SB=1

因为SA

所以将SA、SB、SC

因为OA:

所以sin∠

故tan∠BAC?

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.

【方法技巧与总结】

奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

题型二：重心定理

例2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，CB=a，CA=b，且OP=OC+maa

A．重心B．内心C．外心 D．垂心

【答案】A

【解析】

过C作CH⊥AB，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以asinB=b

【详解】

过C作CH⊥AB，交AB于H，取AB中点D，连接

根据三角函数定义可得asin

因为OP=

所以OP-OC=

即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，

所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心

故选：A

练习．（2022·江苏南京·模拟预测）在△ABC中，AB?AC=0，AB=3，AC=4，O为△ABC的重心，D在边BC上，且

【答案】96

【解析】

根据O为△ABC的重心，得到AO=1