【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练19945.pdf

讲精练

华东师范大学的《数学分析》是大多数数学专业学生必修的一

门课程，也是数学基础很重要的一门课程。这门课程涉及到了

微积分、实变函数、级数和微分方程等重要的数学概念和方法。

本文主要介绍华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册的

精讲精练内容。这两册书主要讲授了微积分和实变函数的部分

内容，其中包括单变量函数、多元函数、微积分的基本定理、

微分学基本理论、级数理论和微分方程等内容。

一、单变量函数

在单变量函数的学习中，我们先要学习函数的基本概念：定义

域、取值域、函数的表示方法、函数分类、函数的有界性和函

数的极限。

1.1定义域与取值域

定义域是指函数自变量可以取到的所有实数值的集合，而取值

域则表示函数所有可能的实数输出值的集合。在单变量函数中，

定义域和取值域的关系是非常重要的。根据函数定义域和取值

域的不同，我们可以将单变量函数分为多种类型，例如正弦函

数、余弦函数、指数函数、对数函数和多项式函数等。

1.2函数的表示方法

函数的一般表示方法是，其中x是自变量，f(x)是因变量。

在实际应用中，一元函数的式子可能会更加复杂，包括三角函

数、指数函数、对数函数等。

1.3函数分类

在单变量函数中，函数可以分为几种类型。其中最常见的包括

连续函数、可导函数和可积函数。连续函数是指在其定义域上

连续的函数，可导函数则意味着函数在其某个点的导数存在，

而可积函数则表示整个函数的积分收敛。

1.4函数的有界性

在学习单变量函数中，我们还需要掌握函数的有界性。一个函

数是有界的，当且仅当在其定义域上存在一个上界和下界，使

得函数值在这些上下界之间。没有上界或下界的函数被称为无

界函数。

1.5函数的极限

在单变量函数中，我们还需要学习函数的极限。在学习极限的

时候，我们需要掌握极限的定义，极限的性质和相关的定理。

特别地，拉格朗日中值定理和柯西中值定理对于极限的理解具

有重要的意义。

二、微积分的基本定理

分学和积分学的基本概念以及相关的定理和方法。在微积分中，

柯西黎曼方程组在理论分析中起了重要作用，需要重视掌握。

2.1微分学基本理论

微分学是微积分的重要部分，掌握它的基本理论对于理解和应

用微积分概念是必要的。微分学的基本理论包括导数的定义、

导数的基本运算法则、高阶导数、中值定理和应用。中值定理

是微分学的一个核心概念，需要掌握其中的理论和方法。

2.2积分学基本理论

在微积分中，积分学也是非常重要的。积分学的基本理论包括

不定积分和定积分的概念和计算方法，曲线和曲面积分的概念

和计算方法，以及微积分基本定理和其他一些相关的定理和方

法。

2.3微积分应用

微积分在各个领域都有着广泛应用，包括物理学、工程学、经

济学等领域。在学习微积分的时候，我们还需要掌握函数的极

值和最值、牛顿-莱布尼茨公式、梯度和雅克比矩阵等相关的

应用。

三、多元函数

在多元函数中，我们需要了解向量函数的概念、复合函数的基

念和性质、隐函数定理和一元函数的极值问题。

3.1向量函数

在多元函数中，向量函数是非常重要的一种函数形式。向量函

数的概念、性质和计算方法需要重视掌握。

3.2偏导数

偏导数是多元函数中的重要概念，它表示在函数的某个点上各

自关于每个自变量的导数。在学习偏导数的时候，需要了解偏

导数的定义、偏导数的计算方法、各阶偏导数的概念、混合偏

导数的性质等。

3.3全微分

全微分是多元函数中的重要概念。全微分是指函数在其某个点

处可以被完全线性近似的微分。在学习全微分时，我们需要掌

握全微分的定义、判定全微分的充要条件和计算全微分的方法

等。

3.4隐函数定理

隐函数定理在多元函数的学习中起着重要作用。它表明在某些

条件下，给定一组方程式，可以唯一确定另一个与之相连的方

程。需要注意的是，隐函数定理通常只适用于线性方程组。

级数理论是数学分析中的重要部分，包括级数的概念和性质、

收敛和发散、级数常用判断方法和常用级数等。

4.1级数的概念和性质

在级数的学习中，我们需要掌握级数的概念和性质。级数是指

无穷个序列的和，一般形式为a1+a2+...+an+...。级数的性质包

括级数的有限和、级数的部分和、级数的敛散性、级数的部分

和与后面所有项的关系和级数收敛的意义等。

4.2收敛和发散

在级数的学习中，一个非常关键的概念就是级数的收敛和发散。

级数的收敛可以理解为无限累加的和，而级数的发散则表示即

使无