相似三角形的应用（压轴题专项讲练）—2023-2024学年九年级数学下册（苏科版）（解析版）.pdf

相似三角形的应用

【典例1】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于

点O，B、D两点在地面上，经测量得到==136cm，==51cm，==34cm，现将

晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．

发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；

探究：若=32cm，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?

【思路点拨】

发现：证明△∽△，得到∠=∠，即可证明∥；

探究：过点作⊥于点，过点作⊥于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理

求出的值，再证明△∽△，利用相似比求出的值，即可获得答案．

【解题过程】

解：发现：∥，

理由如下：连接，如下图，

∵立杆、相交于点，

∴∠=∠，

513

又∵===，

342

∴△∽△，

∴∠=∠，

∴∥；

探究：如下图，过点作⊥于点，过点作⊥于点，

∵==34cm，

∴△是等腰三角形，

1

∴∠=(180°−∠)，

2

∵⊥，=32cm，

1

∴===16cm，

2

2222

在Rt△中，根据勾股定理可得=√−=√34−16=30cm，

∵⊥，⊥，

∴∠=∠=90°，

∵=，=，

∴=，

1

∴∠=(180°−∠)，

2

∴∠=∠，

∴△∽△，

3430

∴=，即=，

136

解得=120cm．

答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．

1．（21·22上·南京·期末）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继

续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（）

A．6mB．7mC．8mD．9m

【思路点拨】

设DExm，DHym，则FN（10-x-8）m，HN（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

【解题过程】

解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，

∴∥∥，

∴△∼△，△∼△，

∴=，=，

设DExm，DHym，则FN（10-x-8）m，HN（8-y）m，

1.21.210−8−

∴=，=，

+10−(+)

∴y=4x，

1

∴=，

5

1.21

∴=，

5

∴AH=6，

故路灯AH的高度为6m．

故选：A．

2．（22·23下·深圳·模拟预测）如图是物体在焦距为cm（即==cm）的凸透镜下成倒立放大

实像的光路示意图．从点发出的平行于的光束折射后经过右焦点，而经过光心点的光束不改变方向，

最后点发出的光汇聚于点，点发出的光汇聚于点，从而得到最清晰的实像．若物距=cm，则像

距为（）cm．

222

A．