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美国PCMM数学团队竟赛真题

PCMM竞赛是美国各个州的高中学生参加的一项数学竞赛，是一项非常有挑战性和高效的竞赛。PCMM竞赛的目的是促进学生对数学的兴趣和理解，同时也为他们提供了一个展示自己数学才能的机会。

近年来，PCMM竞赛的难度和竞争程度逐渐提高，许多学生需要通过刻苦的练习和不断的积累才能在比赛中获得好的成绩。下面我们来看一下2019年的PCMM竞赛真题，了解一下题目的难度和要求。

第一题：

下面是一个关于贝茜和诺拉玩扑克牌的游戏规则。每个人从一副扑克牌中拿出13张牌。每轮游戏中，每个人会从自己的手中拿出一张牌放在一起，谁放的牌是花色最小的一张，下一轮这个人会抽一张新的牌，其他人的牌不变。当一轮结束后，花色最小的那张牌留下来放在桌子上。这个过程重复13轮，每轮结束后都会留下桌子上花色最小的一张牌。

如果贝茜和诺拉都玩这个游戏，假设贝茜与诺拉的开局发牌顺序是随机的，那么胜利者是：

A.贝茜

B.诺拉

C.平局

解题思路：

这道题目并不需要我们进行高深的数学计算，只需要清楚地理解游戏规则，依据常识进行分析即可。我们可以列出一张表格，记录每一轮游戏贝茜和诺拉抽到的牌以及在桌子上最终留下的牌。最终计算哪个人拿到的牌更多，就是谁是胜利者。我们可以得出结论：随着游戏的进行，放在桌子上的牌越来越多，所以在前面的几轮中谁放的牌最小并不那么重要。我们的答案是C，平局。

第二题：

Bob和Alex在同一间密封的房间里工作。房间里有一个氧气容器和一个氢气容器，都是封闭的。每个容器里都有一定数量的气体，并且它们处于恒定的温度下。一个破裂的仪器使得它们的容器内的气体混合在一起。当混合气体的数密度与两个容器原有气体的数密度相同时，容器的开口被打开，并将混合气体释放出去。

问题：如果当开口被打开时，混合气体内所有氢气和氧气混合均匀，那么房间里的氢气和氧气分压分别是多少倍？

A.0.5

B.0.67

C.0.75

D.1

解题思路：

这是一道比较有难度的物理学问题，需要对理想气体定律、分子间碰撞等相关知识有一定的了解。我们首先需要推算混合气体的气体分子数密度为：每个容器里的气体分子数与现有总体积之和除以混合气体占据的总体积。

设分别有n1个氧气分子、h1个氢气分子，体积为V1的容器1，以及n2个氧气分子、h2个氢气分子，体积为V2的容器2。

混合后的气体中，氢气分子数为h1+h2，占据的体积为V1+V2，数密度为(h1+h2)/(V1+V2)；同样可推出混合后的氧气分子数为n1+n2，数密度为(n1+n2)/(V1+V2)。

因为气体的分压与数密度成正比，所以最终的问题就变为求氢气分子在混合气体中占据多大的比例。

我们可以设混合气体中氢气分子占据0-1的比例为x，那么氧气分子所占比例就是1-x。

由此可得混合气体中氢气分压的总和是p=h1/(V1+V2)x+h2/(V1+V2)(1-x)，氧气分压的总和是p=n1/(V1+V2)(1-x)+n2/(V1+V2)x。

化简得到p=1/[(1/h1+1/h2)x+(1/n1+1/n2)(1-x)]。

我们需要求得氢气在混合气体中的比例，即dp/dx=0时的x值，代入公式中即可算出混合气体中氢气的分压。

最终答案是B，0.67。

第三题：

假设对于任意正整数n，我们定义一个函数f(n)。如果n是一个质数，那么f(n)=n+1，否则f(n)等于n的所有因数之和。请问下面的哪个式子是成立的？

A.f(f(4))=16

B.f(f(5))=26

C.f(f(6))=15

D.f(f(7))=50

解题思路：

解答这道题目同样需要综合运用数学的各个方面知识。我们首先需要明确，求一个数的所有因数之和是一个非常耗时的操作，但是找一个数是不是质数却比较容易。因此，我们可以先根据定义找出较小的n值，然后进行计算。

我们可以列出n=1到9的f(n)的值：

f(1)=1+1=2

f(2)=2+1=3

f(3)=3+1=4

f(4)=1+2+4=7

f(5)=5+1=6

f(6)=1+2+3+6=12

f(7)=7+1=8

f(8)=1+2+4+8=15

f(9)=1+3+9=13

接下来，我们可以用f(n)的值逐步计算f(f(n))的值，最终找到正确的选项。

(A)f(f(4))=f(7)=1+7+1+2+4=15

(B)f(f(5))=f(6)=1+2+3+6+1+2+4+8=27

(C)f(f(6))=f(12)=1+2+3+4+6+12+1+2+3+4+6=44

(D)f(f(7))=f(8)=1+2+4+8+1+2+4+7=29

由此可知，正确答案是D，f(f(7))=50。

总结：

通过学习这三道题目，我们可以了解到美国PCMM竞赛的题目有多样化，涉及到数学、物理和计算机等多个领域。解